Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53961 / 21080
↖ ↑ ↗
← N 53.878440°
E116.416626°		 ← 360.06 m → N 53.878440°
E116.422119°		 →
↑
360.09 m
↓
↑
360.09 m
↓
N 53.875202°
E116.416626°		 ← 360.09 m →
129 658 m²		 N 53.875202°
E116.422119°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823387145996094 y=0.321662902832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823387145996094 × 216)
    floor (0.823387145996094 × 65536)
    floor (53961.5)     		tx = 53961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321662902832031 × 216)
    floor (0.321662902832031 × 65536)
    floor (21080.5)     		ty = 21080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53961 / 21080 ti = "16/53961/21080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53961/21080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53961 ÷ 216
    53961 ÷ 65536     		x = 0.823379516601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21080 ÷ 216
    21080 ÷ 65536     		y = 0.3216552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823379516601562 × 2 - 1) × π
    0.646759033203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.03185343
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3216552734375 × 2 - 1) × π
    0.356689453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.12057296551843
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03185343} λ = 2.03185343}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12057296551843))-π/2
    2×atan(3.06661076224631)-π/2
    2×1.25557625382682-π/2
    2.51115250765365-1.57079632675     		φ = 0.94035618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03185343} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.416626°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94035618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.878440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53961 KachelY 21080 2.03185343 0.94035618 116.416626 53.878440
    Oben rechts KachelX + 1 53962 KachelY 21080 2.03194930 0.94035618 116.422119 53.878440
    Unten links KachelX 53961 KachelY + 1 21081 2.03185343 0.94029966 116.416626 53.875202
    Unten rechts KachelX + 1 53962 KachelY + 1 21081 2.03194930 0.94029966 116.422119 53.875202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94035618-0.94029966) × R
    5.65200000000043e-05 × 6371000     		dl = 360.088920000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94035618-0.94029966) × R
    5.65200000000043e-05 × 6371000     		dr = 360.088920000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03185343-2.03194930) × cos(0.94035618) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.589500351581487 × 6371000     		do = 360.059605156665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03185343-2.03194930) × cos(0.94029966) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.589546005694016 × 6371000     		du = 360.087490130247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94035618)-sin(0.94029966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.589500351581487-0.589546005694016)×R²
    abs(2.03194930-2.03185343)×4.56541125284371e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.56541125284371e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.56541125284371e-05×40589641000000     		ar = 129658.494926088m²