Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53961 / 12374
↖ ↑ ↗
← N 81.056568°
W 31.791687°		 ← 47.47 m → N 81.056568°
W 31.788941°		 →
↑
47.46 m
↓
↑
47.46 m
↓
N 81.056141°
W 31.791687°		 ← 47.47 m →
2 253 m²		 N 81.056141°
W 31.788941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12374 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411693572998047 y=0.0944099426269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411693572998047 × 217)
    floor (0.411693572998047 × 131072)
    floor (53961.5)     		tx = 53961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0944099426269531 × 217)
    floor (0.0944099426269531 × 131072)
    floor (12374.5)     		ty = 12374
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53961 / 12374 ti = "17/53961/12374"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53961/12374.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53961 ÷ 217
    53961 ÷ 131072     		x = 0.411689758300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12374 ÷ 217
    12374 ÷ 131072     		y = 0.0944061279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411689758300781 × 2 - 1) × π
    -0.176620483398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.55486961
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0944061279296875 × 2 - 1) × π
    0.811187744140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.54842145760143
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55486961} λ = -0.55486961}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54842145760143))-π/2
    2×atan(12.7869031742922)-π/2
    2×1.49275016033487-π/2
    2.98550032066973-1.57079632675     		φ = 1.41470399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55486961} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.791687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41470399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.056568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53961 KachelY 12374 -0.55486961 1.41470399 -31.791687 81.056568
    Oben rechts KachelX + 1 53962 KachelY 12374 -0.55482168 1.41470399 -31.788941 81.056568
    Unten links KachelX 53961 KachelY + 1 12375 -0.55486961 1.41469654 -31.791687 81.056141
    Unten rechts KachelX + 1 53962 KachelY + 1 12375 -0.55482168 1.41469654 -31.788941 81.056141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41470399-1.41469654) × R
    7.45000000001994e-06 × 6371000     		dl = 47.463950000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41470399-1.41469654) × R
    7.45000000001994e-06 × 6371000     		dr = 47.463950000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55486961--0.55482168) × cos(1.41470399) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.155459248322232 × 6371000     		do = 47.47135164998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55486961--0.55482168) × cos(1.41469654) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.1554666077431 × 6371000     		du = 47.4735989376758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41470399)-sin(1.41469654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155459248322232-0.1554666077431)×R²
    abs(-0.55482168--0.55486961)×7.35942086768637e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.35942086768637e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.35942086768637e-06×40589641000000     		ar = 2253.23119374584m²