Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53960 / 50008
↖ ↑ ↗
← S 68.318146°
E116.411133°		 ← 225.68 m → S 68.318146°
E116.416626°		 →
↑
225.66 m
↓
↑
225.66 m
↓
S 68.320176°
E116.411133°		 ← 225.66 m →
50 925 m²		 S 68.320176°
E116.416626°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823371887207031 y=0.763069152832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823371887207031 × 216)
    floor (0.823371887207031 × 65536)
    floor (53960.5)     		tx = 53960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763069152832031 × 216)
    floor (0.763069152832031 × 65536)
    floor (50008.5)     		ty = 50008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53960 / 50008 ti = "16/53960/50008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53960/50008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53960 ÷ 216
    53960 ÷ 65536     		x = 0.8233642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50008 ÷ 216
    50008 ÷ 65536     		y = 0.7630615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8233642578125 × 2 - 1) × π
    0.646728515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.03175755
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7630615234375 × 2 - 1) × π
    -0.526123046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.65286429889954
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03175755} λ = 2.03175755}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65286429889954))-π/2
    2×atan(0.191500607335917)-π/2
    2×0.189209869939897-π/2
    0.378419739879794-1.57079632675     		φ = -1.19237659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03175755} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.411133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19237659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.318146°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53960 KachelY 50008 2.03175755 -1.19237659 116.411133 -68.318146
    Oben rechts KachelX + 1 53961 KachelY 50008 2.03185343 -1.19237659 116.416626 -68.318146
    Unten links KachelX 53960 KachelY + 1 50009 2.03175755 -1.19241201 116.411133 -68.320176
    Unten rechts KachelX + 1 53961 KachelY + 1 50009 2.03185343 -1.19241201 116.416626 -68.320176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19237659--1.19241201) × R
    3.54199999998972e-05 × 6371000     		dl = 225.660819999345m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19237659--1.19241201) × R
    3.54199999998972e-05 × 6371000     		dr = 225.660819999345m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03175755-2.03185343) × cos(-1.19237659) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.369452472333197 × 6371000     		do = 225.680589514244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03175755-2.03185343) × cos(-1.19241201) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.369419558079636 × 6371000     		du = 225.660483793743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19237659)-sin(-1.19241201))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369452472333197-0.369419558079636)×R²
    abs(2.03185343-2.03175755)×3.29142535613336e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.29142535613336e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.29142535613336e-05×40589641000000     		ar = 50924.9983564457m²