Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53960 / 16062
↖ ↑ ↗
← N 79.336236°
W 31.794434°		 ← 56.52 m → N 79.336236°
W 31.791687°		 →
↑
56.51 m
↓
↑
56.51 m
↓
N 79.335728°
W 31.794434°		 ← 56.52 m →
3 194 m²		 N 79.335728°
W 31.791687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411685943603516 y=0.122547149658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411685943603516 × 217)
    floor (0.411685943603516 × 131072)
    floor (53960.5)     		tx = 53960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122547149658203 × 217)
    floor (0.122547149658203 × 131072)
    floor (16062.5)     		ty = 16062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53960 / 16062 ti = "17/53960/16062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53960/16062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53960 ÷ 217
    53960 ÷ 131072     		x = 0.41168212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16062 ÷ 217
    16062 ÷ 131072     		y = 0.122543334960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41168212890625 × 2 - 1) × π
    -0.1766357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55491755
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122543334960938 × 2 - 1) × π
    0.754913330078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.37163017180266
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55491755} λ = -0.55491755}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37163017180266))-π/2
    2×atan(10.7148450930481)-π/2
    2×1.47773742854999-π/2
    2.95547485709999-1.57079632675     		φ = 1.38467853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55491755} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.794434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38467853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.336236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53960 KachelY 16062 -0.55491755 1.38467853 -31.794434 79.336236
    Oben rechts KachelX + 1 53961 KachelY 16062 -0.55486961 1.38467853 -31.791687 79.336236
    Unten links KachelX 53960 KachelY + 1 16063 -0.55491755 1.38466966 -31.794434 79.335728
    Unten rechts KachelX + 1 53961 KachelY + 1 16063 -0.55486961 1.38466966 -31.791687 79.335728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38467853-1.38466966) × R
    8.87000000004967e-06 × 6371000     		dl = 56.5107700003165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38467853-1.38466966) × R
    8.87000000004967e-06 × 6371000     		dr = 56.5107700003165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55491755--0.55486961) × cos(1.38467853) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185045141371984 × 6371000     		do = 56.5175492369058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55491755--0.55486961) × cos(1.38466966) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185053858179998 × 6371000     		du = 56.5202115744438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38467853)-sin(1.38466966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185045141371984-0.185053858179998)×R²
    abs(-0.55486961--0.55491755)×8.7168080134814e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.7168080134814e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.7168080134814e-06×40589641000000     		ar = 3193.9254512386m²