Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5396 / 2292
↖ ↑ ↗
← N 82.326516°
W120.717773°		 ← 163.12 m → N 82.326516°
W120.706787°		 →
↑
163.10 m
↓
↑
163.10 m
↓
N 82.325049°
W120.717773°		 ← 163.15 m →
26 607 m²		 N 82.325049°
W120.706787°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5396 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.164688110351562 y=0.0699615478515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.164688110351562 × 215)
    floor (0.164688110351562 × 32768)
    floor (5396.5)     		tx = 5396
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0699615478515625 × 215)
    floor (0.0699615478515625 × 32768)
    floor (2292.5)     		ty = 2292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5396 / 2292 ti = "15/5396/2292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5396/2292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5396 ÷ 215
    5396 ÷ 32768     		x = 0.1646728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2292 ÷ 215
    2292 ÷ 32768     		y = 0.0699462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1646728515625 × 2 - 1) × π
    -0.670654296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.10692261
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0699462890625 × 2 - 1) × π
    0.860107421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.70210715778333
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10692261} λ = -2.10692261}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.70210715778333))-π/2
    2×atan(14.9111187244574)-π/2
    2×1.50383254925471-π/2
    3.00766509850942-1.57079632675     		φ = 1.43686877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10692261} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.717773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43686877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.326516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5396 KachelY 2292 -2.10692261 1.43686877 -120.717773 82.326516
    Oben rechts KachelX + 1 5397 KachelY 2292 -2.10673086 1.43686877 -120.706787 82.326516
    Unten links KachelX 5396 KachelY + 1 2293 -2.10692261 1.43684317 -120.717773 82.325049
    Unten rechts KachelX + 1 5397 KachelY + 1 2293 -2.10673086 1.43684317 -120.706787 82.325049
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43686877-1.43684317) × R
    2.560000000007e-05 × 6371000     		dl = 163.097600000446m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43686877-1.43684317) × R
    2.560000000007e-05 × 6371000     		dr = 163.097600000446m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10692261--2.10673086) × cos(1.43686877) × R
    0.000191749999999935 × 0.133527548413007 × 6371000     		do = 163.12249409755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10692261--2.10673086) × cos(1.43684317) × R
    0.000191749999999935 × 0.133552919123857 × 6371000     		du = 163.153487953724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43686877)-sin(1.43684317))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133527548413007-0.133552919123857)×R²
    abs(-2.10673086--2.10692261)×2.53707108492651e-05×R²
    0.000191749999999935×2.53707108492651e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.53707108492651e-05×40589641000000     		ar = 26607.4148065112m²