Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53957 / 21099
↖ ↑ ↗
← N 53.816869°
E116.394653°		 ← 360.63 m → N 53.816869°
E116.400147°		 →
↑
360.66 m
↓
↑
360.66 m
↓
N 53.813626°
E116.394653°		 ← 360.66 m →
130 070 m²		 N 53.813626°
E116.400147°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53957 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21099 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823326110839844 y=0.321952819824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823326110839844 × 216)
    floor (0.823326110839844 × 65536)
    floor (53957.5)     		tx = 53957
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321952819824219 × 216)
    floor (0.321952819824219 × 65536)
    floor (21099.5)     		ty = 21099
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53957 / 21099 ti = "16/53957/21099"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53957/21099.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53957 ÷ 216
    53957 ÷ 65536     		x = 0.823318481445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21099 ÷ 216
    21099 ÷ 65536     		y = 0.321945190429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823318481445312 × 2 - 1) × π
    0.646636962890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.03146993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.321945190429688 × 2 - 1) × π
    0.356109619140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.11875136333287
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03146993} λ = 2.03146993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11875136333287))-π/2
    2×atan(3.06102970215844)-π/2
    2×1.25503894115371-π/2
    2.51007788230742-1.57079632675     		φ = 0.93928156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03146993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.394653°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93928156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.816869°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53957 KachelY 21099 2.03146993 0.93928156 116.394653 53.816869
    Oben rechts KachelX + 1 53958 KachelY 21099 2.03156581 0.93928156 116.400147 53.816869
    Unten links KachelX 53957 KachelY + 1 21100 2.03146993 0.93922495 116.394653 53.813626
    Unten rechts KachelX + 1 53958 KachelY + 1 21100 2.03156581 0.93922495 116.400147 53.813626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93928156-0.93922495) × R
    5.66100000000125e-05 × 6371000     		dl = 360.66231000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93928156-0.93922495) × R
    5.66100000000125e-05 × 6371000     		dr = 360.66231000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03146993-2.03156581) × cos(0.93928156) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.590368054811525 × 6371000     		do = 360.627200026105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03146993-2.03156581) × cos(0.93922495) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.590413745730592 × 6371000     		du = 360.655110391639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93928156)-sin(0.93922495))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.590368054811525-0.590413745730592)×R²
    abs(2.03156581-2.03146993)×4.56909190664767e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.56909190664767e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.56909190664767e-05×40589641000000     		ar = 130069.672153328m²