Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53957 / 21098
↖ ↑ ↗
← N 53.820112°
E116.394653°		 ← 360.60 m → N 53.820112°
E116.400147°		 →
↑
360.53 m
↓
↑
360.53 m
↓
N 53.816869°
E116.394653°		 ← 360.63 m →
130 014 m²		 N 53.816869°
E116.400147°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53957 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823326110839844 y=0.321937561035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823326110839844 × 216)
    floor (0.823326110839844 × 65536)
    floor (53957.5)     		tx = 53957
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321937561035156 × 216)
    floor (0.321937561035156 × 65536)
    floor (21098.5)     		ty = 21098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53957 / 21098 ti = "16/53957/21098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53957/21098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53957 ÷ 216
    53957 ÷ 65536     		x = 0.823318481445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21098 ÷ 216
    21098 ÷ 65536     		y = 0.321929931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823318481445312 × 2 - 1) × π
    0.646636962890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.03146993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.321929931640625 × 2 - 1) × π
    0.35614013671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.11884723713211
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03146993} λ = 2.03146993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11884723713211))-π/2
    2×atan(3.06132318877418)-π/2
    2×1.25506724047309-π/2
    2.51013448094619-1.57079632675     		φ = 0.93933815
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03146993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.394653°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93933815 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.820112°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53957 KachelY 21098 2.03146993 0.93933815 116.394653 53.820112
    Oben rechts KachelX + 1 53958 KachelY 21098 2.03156581 0.93933815 116.400147 53.820112
    Unten links KachelX 53957 KachelY + 1 21099 2.03146993 0.93928156 116.394653 53.816869
    Unten rechts KachelX + 1 53958 KachelY + 1 21099 2.03156581 0.93928156 116.400147 53.816869
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93933815-0.93928156) × R
    5.6590000000023e-05 × 6371000     		dl = 360.534890000147m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93933815-0.93928156) × R
    5.6590000000023e-05 × 6371000     		dr = 360.534890000147m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03146993-2.03156581) × cos(0.93933815) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.590322378143863 × 6371000     		do = 360.599298366062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03146993-2.03156581) × cos(0.93928156) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.590368054811525 × 6371000     		du = 360.627200026105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93933815)-sin(0.93928156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.590322378143863-0.590368054811525)×R²
    abs(2.03156581-2.03146993)×4.56766676627529e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.56766676627529e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.56766676627529e-05×40589641000000     		ar = 130013.658166158m²