Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53956 / 13364
↖ ↑ ↗
← N 80.623795°
W 31.805420°		 ← 49.76 m → N 80.623795°
W 31.802673°		 →
↑
49.76 m
↓
↑
49.76 m
↓
N 80.623348°
W 31.805420°		 ← 49.76 m →
2 476 m²		 N 80.623348°
W 31.802673°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53956 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411655426025391 y=0.101963043212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411655426025391 × 217)
    floor (0.411655426025391 × 131072)
    floor (53956.5)     		tx = 53956
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101963043212891 × 217)
    floor (0.101963043212891 × 131072)
    floor (13364.5)     		ty = 13364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53956 / 13364 ti = "17/53956/13364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53956/13364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53956 ÷ 217
    53956 ÷ 131072     		x = 0.411651611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13364 ÷ 217
    13364 ÷ 131072     		y = 0.101959228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411651611328125 × 2 - 1) × π
    -0.17669677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55510930
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.101959228515625 × 2 - 1) × π
    0.79608154296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.50096392697757
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55510930} λ = -0.55510930}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50096392697757))-π/2
    2×atan(12.1942426568191)-π/2
    2×1.48897350488433-π/2
    2.97794700976866-1.57079632675     		φ = 1.40715068
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55510930} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.805420°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40715068 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.623795°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53956 KachelY 13364 -0.55510930 1.40715068 -31.805420 80.623795
    Oben rechts KachelX + 1 53957 KachelY 13364 -0.55506136 1.40715068 -31.802673 80.623795
    Unten links KachelX 53956 KachelY + 1 13365 -0.55510930 1.40714287 -31.805420 80.623348
    Unten rechts KachelX + 1 53957 KachelY + 1 13365 -0.55506136 1.40714287 -31.802673 80.623348
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40715068-1.40714287) × R
    7.8100000000525e-06 × 6371000     		dl = 49.7575100003345m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40715068-1.40714287) × R
    7.8100000000525e-06 × 6371000     		dr = 49.7575100003345m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55510930--0.55506136) × cos(1.40715068) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.162916221896011 × 6371000     		do = 49.758807630676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55510930--0.55506136) × cos(1.40714287) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.16292392754871 × 6371000     		du = 49.7611611353539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40715068)-sin(1.40714287))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162916221896011-0.16292392754871)×R²
    abs(-0.55506136--0.55510930)×7.70565269930801e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.70565269930801e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.70565269930801e-06×40589641000000     		ar = 2475.93292062312m²