Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53956 / 13348
↖ ↑ ↗
← N 80.630952°
W 31.805420°		 ← 49.72 m → N 80.630952°
W 31.802673°		 →
↑
49.69 m
↓
↑
49.69 m
↓
N 80.630505°
W 31.805420°		 ← 49.72 m →
2 471 m²		 N 80.630505°
W 31.802673°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53956 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411655426025391 y=0.101840972900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411655426025391 × 217)
    floor (0.411655426025391 × 131072)
    floor (53956.5)     		tx = 53956
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101840972900391 × 217)
    floor (0.101840972900391 × 131072)
    floor (13348.5)     		ty = 13348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53956 / 13348 ti = "17/53956/13348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53956/13348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53956 ÷ 217
    53956 ÷ 131072     		x = 0.411651611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13348 ÷ 217
    13348 ÷ 131072     		y = 0.101837158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411651611328125 × 2 - 1) × π
    -0.17669677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55510930
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.101837158203125 × 2 - 1) × π
    0.79632568359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.50173091737149
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55510930} λ = -0.55510930}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50173091737149))-π/2
    2×atan(12.2035991114948)-π/2
    2×1.48903595883786-π/2
    2.97807191767572-1.57079632675     		φ = 1.40727559
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55510930} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.805420°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40727559 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.630952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53956 KachelY 13348 -0.55510930 1.40727559 -31.805420 80.630952
    Oben rechts KachelX + 1 53957 KachelY 13348 -0.55506136 1.40727559 -31.802673 80.630952
    Unten links KachelX 53956 KachelY + 1 13349 -0.55510930 1.40726779 -31.805420 80.630505
    Unten rechts KachelX + 1 53957 KachelY + 1 13349 -0.55506136 1.40726779 -31.802673 80.630505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40727559-1.40726779) × R
    7.80000000011327e-06 × 6371000     		dl = 49.6938000007217m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40727559-1.40726779) × R
    7.80000000011327e-06 × 6371000     		dr = 49.6938000007217m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55510930--0.55506136) × cos(1.40727559) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.162792979434689 × 6371000     		do = 49.7211662107271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55510930--0.55506136) × cos(1.40726779) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.162800675379674 × 6371000     		du = 49.7235167504194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40727559)-sin(1.40726779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162792979434689-0.162800675379674)×R²
    abs(-0.55506136--0.55510930)×7.69594498570281e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.69594498570281e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.69594498570281e-06×40589641000000     		ar = 2470.89209318179m²