Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53956 / 11612
↖ ↑ ↗
← N 81.376127°
W 31.805420°		 ← 45.80 m → N 81.376127°
W 31.802673°		 →
↑
45.81 m
↓
↑
45.81 m
↓
N 81.375715°
W 31.805420°		 ← 45.80 m →
2 098 m²		 N 81.375715°
W 31.802673°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53956 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11612 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411655426025391 y=0.0885963439941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411655426025391 × 217)
    floor (0.411655426025391 × 131072)
    floor (53956.5)     		tx = 53956
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0885963439941406 × 217)
    floor (0.0885963439941406 × 131072)
    floor (11612.5)     		ty = 11612
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53956 / 11612 ti = "17/53956/11612"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53956/11612.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53956 ÷ 217
    53956 ÷ 131072     		x = 0.411651611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11612 ÷ 217
    11612 ÷ 131072     		y = 0.088592529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411651611328125 × 2 - 1) × π
    -0.17669677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55510930
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.088592529296875 × 2 - 1) × π
    0.82281494140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.58494937511191
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55510930} λ = -0.55510930}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58494937511191))-π/2
    2×atan(13.262617654438)-π/2
    2×1.49553883118516-π/2
    2.99107766237031-1.57079632675     		φ = 1.42028134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55510930} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.805420°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42028134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.376127°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53956 KachelY 11612 -0.55510930 1.42028134 -31.805420 81.376127
    Oben rechts KachelX + 1 53957 KachelY 11612 -0.55506136 1.42028134 -31.802673 81.376127
    Unten links KachelX 53956 KachelY + 1 11613 -0.55510930 1.42027415 -31.805420 81.375715
    Unten rechts KachelX + 1 53957 KachelY + 1 11613 -0.55506136 1.42027415 -31.802673 81.375715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42028134-1.42027415) × R
    7.19000000004577e-06 × 6371000     		dl = 45.8074900002916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42028134-1.42027415) × R
    7.19000000004577e-06 × 6371000     		dr = 45.8074900002916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55510930--0.55506136) × cos(1.42028134) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.149947316683056 × 6371000     		do = 45.7977701590129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55510930--0.55506136) × cos(1.42027415) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.149954425388955 × 6371000     		du = 45.7999413407725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42028134)-sin(1.42027415))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149947316683056-0.149954425388955)×R²
    abs(-0.55506136--0.55510930)×7.10870589898382e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.10870589898382e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.10870589898382e-06×40589641000000     		ar = 2097.93062678909m²