Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53955 / 21045
↖ ↑ ↗
← N 53.991625°
E116.383667°		 ← 359.12 m → N 53.991625°
E116.389160°		 →
↑
359.13 m
↓
↑
359.13 m
↓
N 53.988395°
E116.383667°		 ← 359.15 m →
128 978 m²		 N 53.988395°
E116.389160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53955 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21045 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823295593261719 y=0.321128845214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823295593261719 × 216)
    floor (0.823295593261719 × 65536)
    floor (53955.5)     		tx = 53955
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321128845214844 × 216)
    floor (0.321128845214844 × 65536)
    floor (21045.5)     		ty = 21045
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53955 / 21045 ti = "16/53955/21045"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53955/21045.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53955 ÷ 216
    53955 ÷ 65536     		x = 0.823287963867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21045 ÷ 216
    21045 ÷ 65536     		y = 0.321121215820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823287963867188 × 2 - 1) × π
    0.646575927734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.03127818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.321121215820312 × 2 - 1) × π
    0.357757568359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.12392854849184
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03127818} λ = 2.03127818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12392854849184))-π/2
    2×atan(3.0769183133558)-π/2
    2×1.25656397262633-π/2
    2.51312794525266-1.57079632675     		φ = 0.94233162
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03127818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.383667°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94233162 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.991625°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53955 KachelY 21045 2.03127818 0.94233162 116.383667 53.991625
    Oben rechts KachelX + 1 53956 KachelY 21045 2.03137406 0.94233162 116.389160 53.991625
    Unten links KachelX 53955 KachelY + 1 21046 2.03127818 0.94227525 116.383667 53.988395
    Unten rechts KachelX + 1 53956 KachelY + 1 21046 2.03137406 0.94227525 116.389160 53.988395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94233162-0.94227525) × R
    5.63700000000278e-05 × 6371000     		dl = 359.133270000177m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94233162-0.94227525) × R
    5.63700000000278e-05 × 6371000     		dr = 359.133270000177m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03127818-2.03137406) × cos(0.94233162) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.587903504942731 × 6371000     		do = 359.121726091219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03127818-2.03137406) × cos(0.94227525) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.58794910345282 × 6371000     		du = 359.149580008593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94233162)-sin(0.94227525))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.587903504942731-0.58794910345282)×R²
    abs(2.03137406-2.03127818)×4.55985100888956e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.55985100888956e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.55985100888956e-05×40589641000000     		ar = 128977.561487854m²