Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53953 / 21113
↖ ↑ ↗
← N 53.771442°
E116.372681°		 ← 360.98 m → N 53.771442°
E116.378174°		 →
↑
360.98 m
↓
↑
360.98 m
↓
N 53.768196°
E116.372681°		 ← 361.01 m →
130 312 m²		 N 53.768196°
E116.378174°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53953 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823265075683594 y=0.322166442871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823265075683594 × 216)
    floor (0.823265075683594 × 65536)
    floor (53953.5)     		tx = 53953
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322166442871094 × 216)
    floor (0.322166442871094 × 65536)
    floor (21113.5)     		ty = 21113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53953 / 21113 ti = "16/53953/21113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53953/21113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53953 ÷ 216
    53953 ÷ 65536     		x = 0.823257446289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21113 ÷ 216
    21113 ÷ 65536     		y = 0.322158813476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823257446289062 × 2 - 1) × π
    0.646514892578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.03108644
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322158813476562 × 2 - 1) × π
    0.355682373046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.11740913014351
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03108644} λ = 2.03108644}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11740913014351))-π/2
    2×atan(3.05692384262547)-π/2
    2×1.25464252069952-π/2
    2.50928504139903-1.57079632675     		φ = 0.93848871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03108644} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.372681°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93848871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.771442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53953 KachelY 21113 2.03108644 0.93848871 116.372681 53.771442
    Oben rechts KachelX + 1 53954 KachelY 21113 2.03118231 0.93848871 116.378174 53.771442
    Unten links KachelX 53953 KachelY + 1 21114 2.03108644 0.93843205 116.372681 53.768196
    Unten rechts KachelX + 1 53954 KachelY + 1 21114 2.03118231 0.93843205 116.378174 53.768196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93848871-0.93843205) × R
    5.66600000000417e-05 × 6371000     		dl = 360.980860000266m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93848871-0.93843205) × R
    5.66600000000417e-05 × 6371000     		dr = 360.980860000266m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03108644-2.03118231) × cos(0.93848871) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.591007805511025 × 6371000     		do = 360.980339580665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03108644-2.03118231) × cos(0.93843205) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.591053510248696 × 6371000     		du = 361.008255475465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93848871)-sin(0.93843205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591007805511025-0.591053510248696)×R²
    abs(2.03118231-2.03108644)×4.57047376709596e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.57047376709596e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.57047376709596e-05×40589641000000     		ar = 130312.03201172m²