Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53953 / 16063
↖ ↑ ↗
← N 79.335728°
W 31.813660°		 ← 56.52 m → N 79.335728°
W 31.810913°		 →
↑
56.51 m
↓
↑
56.51 m
↓
N 79.335219°
W 31.813660°		 ← 56.52 m →
3 194 m²		 N 79.335219°
W 31.810913°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53953 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16063 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411632537841797 y=0.122554779052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411632537841797 × 217)
    floor (0.411632537841797 × 131072)
    floor (53953.5)     		tx = 53953
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122554779052734 × 217)
    floor (0.122554779052734 × 131072)
    floor (16063.5)     		ty = 16063
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53953 / 16063 ti = "17/53953/16063"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53953/16063.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53953 ÷ 217
    53953 ÷ 131072     		x = 0.411628723144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16063 ÷ 217
    16063 ÷ 131072     		y = 0.122550964355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411628723144531 × 2 - 1) × π
    -0.176742553710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.55525311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122550964355469 × 2 - 1) × π
    0.754898071289062 × 3.1415926535     		Φ = 2.37158223490304
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55525311} λ = -0.55525311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37158223490304))-π/2
    2×atan(10.7143314689053)-π/2
    2×1.47773299320035-π/2
    2.95546598640069-1.57079632675     		φ = 1.38466966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55525311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.813660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38466966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.335728°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53953 KachelY 16063 -0.55525311 1.38466966 -31.813660 79.335728
    Oben rechts KachelX + 1 53954 KachelY 16063 -0.55520517 1.38466966 -31.810913 79.335728
    Unten links KachelX 53953 KachelY + 1 16064 -0.55525311 1.38466079 -31.813660 79.335219
    Unten rechts KachelX + 1 53954 KachelY + 1 16064 -0.55520517 1.38466079 -31.810913 79.335219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38466966-1.38466079) × R
    8.86999999982763e-06 × 6371000     		dl = 56.5107699989018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38466966-1.38466079) × R
    8.86999999982763e-06 × 6371000     		dr = 56.5107699989018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55525311--0.55520517) × cos(1.38466966) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185053858179998 × 6371000     		do = 56.5202115744438m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55525311--0.55520517) × cos(1.38466079) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185062574973451 × 6371000     		du = 56.5228739075348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38466966)-sin(1.38466079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185053858179998-0.185062574973451)×R²
    abs(-0.55520517--0.55525311)×8.71679345382237e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.71679345382237e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.71679345382237e-06×40589641000000     		ar = 3194.07590189293m²