Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53952 / 16065
↖ ↑ ↗
← N 79.334711°
W 31.816407°		 ← 56.53 m → N 79.334711°
W 31.813660°		 →
↑
56.51 m
↓
↑
56.51 m
↓
N 79.334203°
W 31.816407°		 ← 56.53 m →
3 194 m²		 N 79.334203°
W 31.813660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16065 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411624908447266 y=0.122570037841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411624908447266 × 217)
    floor (0.411624908447266 × 131072)
    floor (53952.5)     		tx = 53952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122570037841797 × 217)
    floor (0.122570037841797 × 131072)
    floor (16065.5)     		ty = 16065
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53952 / 16065 ti = "17/53952/16065"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53952/16065.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53952 ÷ 217
    53952 ÷ 131072     		x = 0.41162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16065 ÷ 217
    16065 ÷ 131072     		y = 0.122566223144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41162109375 × 2 - 1) × π
    -0.1767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55530105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122566223144531 × 2 - 1) × π
    0.754867553710938 × 3.1415926535     		Φ = 2.3714863611038
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55530105} λ = -0.55530105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3714863611038))-π/2
    2×atan(10.7133042944814)-π/2
    2×1.47772412187419-π/2
    2.95544824374838-1.57079632675     		φ = 1.38465192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55530105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.816407°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38465192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.334711°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53952 KachelY 16065 -0.55530105 1.38465192 -31.816407 79.334711
    Oben rechts KachelX + 1 53953 KachelY 16065 -0.55525311 1.38465192 -31.813660 79.334711
    Unten links KachelX 53952 KachelY + 1 16066 -0.55530105 1.38464305 -31.816407 79.334203
    Unten rechts KachelX + 1 53953 KachelY + 1 16066 -0.55525311 1.38464305 -31.813660 79.334203
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38465192-1.38464305) × R
    8.87000000004967e-06 × 6371000     		dl = 56.5107700003165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38465192-1.38464305) × R
    8.87000000004967e-06 × 6371000     		dr = 56.5107700003165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55530105--0.55525311) × cos(1.38465192) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185071291752345 × 6371000     		do = 56.5255362361789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55530105--0.55525311) × cos(1.38464305) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185080008516678 × 6371000     		du = 56.5281985603757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38465192)-sin(1.38464305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185071291752345-0.185080008516678)×R²
    abs(-0.55525311--0.55530105)×8.71676433303326e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.71676433303326e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.71676433303326e-06×40589641000000     		ar = 3194.37680255349m²