Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 5395 / 2323
↖ ↑ ↗
← N 82.280906°
W120.728760°		 ← 164.09 m → N 82.280906°
W120.717773°		 →
↑
164.12 m
↓
↑
164.12 m
↓
N 82.279430°
W120.728760°		 ← 164.12 m →
26 932 m²		 N 82.279430°
W120.717773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5395 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.164657592773438 y=0.0709075927734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.164657592773438 × 215)
    floor (0.164657592773438 × 32768)
    floor (5395.5)     		tx = 5395
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0709075927734375 × 215)
    floor (0.0709075927734375 × 32768)
    floor (2323.5)     		ty = 2323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5395 / 2323 ti = "15/5395/2323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5395/2323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5395 ÷ 215
    5395 ÷ 32768     		x = 0.164642333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2323 ÷ 215
    2323 ÷ 32768     		y = 0.070892333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.164642333984375 × 2 - 1) × π
    -0.67071533203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.10711436
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.070892333984375 × 2 - 1) × π
    0.85821533203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.69616298223044
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10711436} λ = -2.10711436}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69616298223044))-π/2
    2×atan(14.8227473248297)-π/2
    2×1.5034345224811-π/2
    3.00686904496219-1.57079632675     		φ = 1.43607272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10711436} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.728760°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43607272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.280906°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5395 KachelY 2323 -2.10711436 1.43607272 -120.728760 82.280906
    Oben rechts KachelX + 1 5396 KachelY 2323 -2.10692261 1.43607272 -120.717773 82.280906
    Unten links KachelX 5395 KachelY + 1 2324 -2.10711436 1.43604696 -120.728760 82.279430
    Unten rechts KachelX + 1 5396 KachelY + 1 2324 -2.10692261 1.43604696 -120.717773 82.279430
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43607272-1.43604696) × R
    2.57599999999858e-05 × 6371000     		dl = 164.116959999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43607272-1.43604696) × R
    2.57599999999858e-05 × 6371000     		dr = 164.116959999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10711436--2.10692261) × cos(1.43607272) × R
    0.000191750000000379 × 0.13431642747507 × 6371000     		do = 164.086219723648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10711436--2.10692261) × cos(1.43604696) × R
    0.000191750000000379 × 0.134341954006087 × 6371000     		du = 164.117403935856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43607272)-sin(1.43604696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.13431642747507-0.134341954006087)×R²
    abs(-2.10692261--2.10711436)×2.55265310173669e-05×R²
    0.000191750000000379×2.55265310173669e-05×6371000²
    0.000191750000000379×2.55265310173669e-05×40589641000000     		ar = 26931.8904896101m²