Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53949 / 20853
↖ ↑ ↗
← N 54.607074°
E116.350708°		 ← 353.79 m → N 54.607074°
E116.356201°		 →
↑
353.78 m
↓
↑
353.78 m
↓
N 54.603892°
E116.350708°		 ← 353.82 m →
125 170 m²		 N 54.603892°
E116.356201°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20853 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823204040527344 y=0.318199157714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823204040527344 × 216)
    floor (0.823204040527344 × 65536)
    floor (53949.5)     		tx = 53949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318199157714844 × 216)
    floor (0.318199157714844 × 65536)
    floor (20853.5)     		ty = 20853
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53949 / 20853 ti = "16/53949/20853"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53949/20853.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53949 ÷ 216
    53949 ÷ 65536     		x = 0.823196411132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20853 ÷ 216
    20853 ÷ 65536     		y = 0.318191528320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823196411132812 × 2 - 1) × π
    0.646392822265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.03070294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318191528320312 × 2 - 1) × π
    0.363616943359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.14233631794594
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03070294} λ = 2.03070294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14233631794594))-π/2
    2×atan(3.13408203042748)-π/2
    2×1.2619347777449-π/2
    2.52386955548979-1.57079632675     		φ = 0.95307323
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03070294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.350708°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95307323 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.607074°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53949 KachelY 20853 2.03070294 0.95307323 116.350708 54.607074
    Oben rechts KachelX + 1 53950 KachelY 20853 2.03079882 0.95307323 116.356201 54.607074
    Unten links KachelX 53949 KachelY + 1 20854 2.03070294 0.95301770 116.350708 54.603892
    Unten rechts KachelX + 1 53950 KachelY + 1 20854 2.03079882 0.95301770 116.356201 54.603892
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95307323-0.95301770) × R
    5.55300000000258e-05 × 6371000     		dl = 353.781630000165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95307323-0.95301770) × R
    5.55300000000258e-05 × 6371000     		dr = 353.781630000165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03070294-2.03079882) × cos(0.95307323) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.579180533545738 × 6371000     		do = 353.793286103372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03070294-2.03079882) × cos(0.95301770) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.579225800670238 × 6371000     		du = 353.820937593368m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95307323)-sin(0.95301770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579180533545738-0.579225800670238)×R²
    abs(2.03079882-2.03070294)×4.52671244999259e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.52671244999259e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.52671244999259e-05×40589641000000     		ar = 125170.456767221m²