Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53948 / 21020
↖ ↑ ↗
← N 54.072283°
E116.345215°		 ← 358.39 m → N 54.072283°
E116.350708°		 →
↑
358.43 m
↓
↑
358.43 m
↓
N 54.069059°
E116.345215°		 ← 358.42 m →
128 463 m²		 N 54.069059°
E116.350708°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53948 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823188781738281 y=0.320747375488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823188781738281 × 216)
    floor (0.823188781738281 × 65536)
    floor (53948.5)     		tx = 53948
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320747375488281 × 216)
    floor (0.320747375488281 × 65536)
    floor (21020.5)     		ty = 21020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53948 / 21020 ti = "16/53948/21020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53948/21020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53948 ÷ 216
    53948 ÷ 65536     		x = 0.82318115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21020 ÷ 216
    21020 ÷ 65536     		y = 0.32073974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82318115234375 × 2 - 1) × π
    0.6463623046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.03060707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32073974609375 × 2 - 1) × π
    0.3585205078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.12632539347284
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03060707} λ = 2.03060707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12632539347284))-π/2
    2×atan(3.08430205487915)-π/2
    2×1.25726784659266-π/2
    2.51453569318532-1.57079632675     		φ = 0.94373937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03060707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.345215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94373937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.072283°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53948 KachelY 21020 2.03060707 0.94373937 116.345215 54.072283
    Oben rechts KachelX + 1 53949 KachelY 21020 2.03070294 0.94373937 116.350708 54.072283
    Unten links KachelX 53948 KachelY + 1 21021 2.03060707 0.94368311 116.345215 54.069059
    Unten rechts KachelX + 1 53949 KachelY + 1 21021 2.03070294 0.94368311 116.350708 54.069059
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94373937-0.94368311) × R
    5.62599999999192e-05 × 6371000     		dl = 358.432459999485m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94373937-0.94368311) × R
    5.62599999999192e-05 × 6371000     		dr = 358.432459999485m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03060707-2.03070294) × cos(0.94373937) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.586764150069529 × 6371000     		do = 358.388366736905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03060707-2.03070294) × cos(0.94368311) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.586809706119502 × 6371000     		du = 358.416191815078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94373937)-sin(0.94368311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.586764150069529-0.586809706119502)×R²
    abs(2.03070294-2.03060707)×4.55560499723617e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.55560499723617e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.55560499723617e-05×40589641000000     		ar = 128463.010664219m²