Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53947 / 13893
↖ ↑ ↗
← N 80.384102°
W 31.830139°		 ← 51.02 m → N 80.384102°
W 31.827392°		 →
↑
51.03 m
↓
↑
51.03 m
↓
N 80.383643°
W 31.830139°		 ← 51.02 m →
2 604 m²		 N 80.383643°
W 31.827392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53947 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13893 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411586761474609 y=0.105998992919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411586761474609 × 217)
    floor (0.411586761474609 × 131072)
    floor (53947.5)     		tx = 53947
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105998992919922 × 217)
    floor (0.105998992919922 × 131072)
    floor (13893.5)     		ty = 13893
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53947 / 13893 ti = "17/53947/13893"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53947/13893.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53947 ÷ 217
    53947 ÷ 131072     		x = 0.411582946777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13893 ÷ 217
    13893 ÷ 131072     		y = 0.105995178222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411582946777344 × 2 - 1) × π
    -0.176834106445312 × 3.1415926535     		Λ = -0.55554073
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105995178222656 × 2 - 1) × π
    0.788009643554688 × 3.1415926535     		Φ = 2.47560530707856
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55554073} λ = -0.55554073}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47560530707856))-π/2
    2×atan(11.8889013716685)-π/2
    2×1.48688178754903-π/2
    2.97376357509807-1.57079632675     		φ = 1.40296725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55554073} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.830139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40296725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.384102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53947 KachelY 13893 -0.55554073 1.40296725 -31.830139 80.384102
    Oben rechts KachelX + 1 53948 KachelY 13893 -0.55549279 1.40296725 -31.827392 80.384102
    Unten links KachelX 53947 KachelY + 1 13894 -0.55554073 1.40295924 -31.830139 80.383643
    Unten rechts KachelX + 1 53948 KachelY + 1 13894 -0.55549279 1.40295924 -31.827392 80.383643
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40296725-1.40295924) × R
    8.01000000016927e-06 × 6371000     		dl = 51.0317100010784m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40296725-1.40295924) × R
    8.01000000016927e-06 × 6371000     		dr = 51.0317100010784m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55554073--0.55549279) × cos(1.40296725) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.167042323236331 × 6371000     		do = 51.0190251858603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55554073--0.55549279) × cos(1.40295924) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.167050220688278 × 6371000     		du = 51.0214372709653m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40296725)-sin(1.40295924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167042323236331-0.167050220688278)×R²
    abs(-0.55549279--0.55554073)×7.89745194679226e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.89745194679226e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.89745194679226e-06×40589641000000     		ar = 2603.64964414408m²