Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53945 / 50113
↖ ↑ ↗
← S 68.530245°
E116.328736°		 ← 223.55 m → S 68.530245°
E116.334228°		 →
↑
223.56 m
↓
↑
223.56 m
↓
S 68.532256°
E116.328736°		 ← 223.53 m →
49 975 m²		 S 68.532256°
E116.334228°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53945 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823143005371094 y=0.764671325683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823143005371094 × 216)
    floor (0.823143005371094 × 65536)
    floor (53945.5)     		tx = 53945
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764671325683594 × 216)
    floor (0.764671325683594 × 65536)
    floor (50113.5)     		ty = 50113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53945 / 50113 ti = "16/53945/50113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53945/50113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53945 ÷ 216
    53945 ÷ 65536     		x = 0.823135375976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50113 ÷ 216
    50113 ÷ 65536     		y = 0.764663696289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823135375976562 × 2 - 1) × π
    0.646270751953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.03031945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764663696289062 × 2 - 1) × π
    -0.529327392578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.66293104781975
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03031945} λ = 2.03031945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66293104781975))-π/2
    2×atan(0.189582489606973)-π/2
    2×0.18735895226715-π/2
    0.374717904534301-1.57079632675     		φ = -1.19607842
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03031945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.328736°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19607842 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.530245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53945 KachelY 50113 2.03031945 -1.19607842 116.328736 -68.530245
    Oben rechts KachelX + 1 53946 KachelY 50113 2.03041532 -1.19607842 116.334228 -68.530245
    Unten links KachelX 53945 KachelY + 1 50114 2.03031945 -1.19611351 116.328736 -68.532256
    Unten rechts KachelX + 1 53946 KachelY + 1 50114 2.03041532 -1.19611351 116.334228 -68.532256
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19607842--1.19611351) × R
    3.50899999999044e-05 × 6371000     		dl = 223.558389999391m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19607842--1.19611351) × R
    3.50899999999044e-05 × 6371000     		dr = 223.558389999391m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03031945-2.03041532) × cos(-1.19607842) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.366010024638734 × 6371000     		do = 223.554446746732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03031945-2.03041532) × cos(-1.19611351) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.365977369276647 × 6371000     		du = 223.534501250945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19607842)-sin(-1.19611351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366010024638734-0.365977369276647)×R²
    abs(2.03041532-2.03031945)×3.26553620862424e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.26553620862424e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.26553620862424e-05×40589641000000     		ar = 49975.2427055m²