Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53945 / 21035
↖ ↑ ↗
← N 54.023907°
E116.328736°		 ← 358.81 m → N 54.023907°
E116.334228°		 →
↑
358.88 m
↓
↑
358.88 m
↓
N 54.020679°
E116.328736°		 ← 358.83 m →
128 773 m²		 N 54.020679°
E116.334228°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53945 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823143005371094 y=0.320976257324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823143005371094 × 216)
    floor (0.823143005371094 × 65536)
    floor (53945.5)     		tx = 53945
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320976257324219 × 216)
    floor (0.320976257324219 × 65536)
    floor (21035.5)     		ty = 21035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53945 / 21035 ti = "16/53945/21035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53945/21035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53945 ÷ 216
    53945 ÷ 65536     		x = 0.823135375976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21035 ÷ 216
    21035 ÷ 65536     		y = 0.320968627929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823135375976562 × 2 - 1) × π
    0.646270751953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.03031945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320968627929688 × 2 - 1) × π
    0.358062744140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.12488728648424
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03031945} λ = 2.03031945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12488728648424))-π/2
    2×atan(3.079869686413)-π/2
    2×1.25684568606908-π/2
    2.51369137213816-1.57079632675     		φ = 0.94289505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03031945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.328736°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94289505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.023907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53945 KachelY 21035 2.03031945 0.94289505 116.328736 54.023907
    Oben rechts KachelX + 1 53946 KachelY 21035 2.03041532 0.94289505 116.334228 54.023907
    Unten links KachelX 53945 KachelY + 1 21036 2.03031945 0.94283872 116.328736 54.020679
    Unten rechts KachelX + 1 53946 KachelY + 1 21036 2.03041532 0.94283872 116.334228 54.020679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94289505-0.94283872) × R
    5.63299999999378e-05 × 6371000     		dl = 358.878429999604m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94289505-0.94283872) × R
    5.63299999999378e-05 × 6371000     		dr = 358.878429999604m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03031945-2.03041532) × cos(0.94289505) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.58744763562059 × 6371000     		do = 358.805831352465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03031945-2.03041532) × cos(0.94283872) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.587493220427139 × 6371000     		du = 358.833673994803m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94289505)-sin(0.94283872))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58744763562059-0.587493220427139)×R²
    abs(2.03041532-2.03031945)×4.55848065492592e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.55848065492592e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.55848065492592e-05×40589641000000     		ar = 128772.669526499m²