Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53945 / 12525
↖ ↑ ↗
← N 80.991863°
W 31.835632°		 ← 47.81 m → N 80.991863°
W 31.832886°		 →
↑
47.78 m
↓
↑
47.78 m
↓
N 80.991433°
W 31.835632°		 ← 47.81 m →
2 285 m²		 N 80.991433°
W 31.832886°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53945 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411571502685547 y=0.0955619812011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411571502685547 × 217)
    floor (0.411571502685547 × 131072)
    floor (53945.5)     		tx = 53945
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0955619812011719 × 217)
    floor (0.0955619812011719 × 131072)
    floor (12525.5)     		ty = 12525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53945 / 12525 ti = "17/53945/12525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53945/12525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53945 ÷ 217
    53945 ÷ 131072     		x = 0.411567687988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12525 ÷ 217
    12525 ÷ 131072     		y = 0.0955581665039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411567687988281 × 2 - 1) × π
    -0.176864624023438 × 3.1415926535     		Λ = -0.55563660
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0955581665039062 × 2 - 1) × π
    0.808883666992188 × 3.1415926535     		Φ = 2.5411829857588
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55563660} λ = -0.55563660}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5411829857588))-π/2
    2×atan(12.6946797168347)-π/2
    2×1.49218550038651-π/2
    2.98437100077301-1.57079632675     		φ = 1.41357467
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55563660} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.835632°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41357467 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.991863°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53945 KachelY 12525 -0.55563660 1.41357467 -31.835632 80.991863
    Oben rechts KachelX + 1 53946 KachelY 12525 -0.55558867 1.41357467 -31.832886 80.991863
    Unten links KachelX 53945 KachelY + 1 12526 -0.55563660 1.41356717 -31.835632 80.991433
    Unten rechts KachelX + 1 53946 KachelY + 1 12526 -0.55558867 1.41356717 -31.832886 80.991433
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41357467-1.41356717) × R
    7.49999999993811e-06 × 6371000     		dl = 47.7824999996057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41357467-1.41356717) × R
    7.49999999993811e-06 × 6371000     		dr = 47.7824999996057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55563660--0.55558867) × cos(1.41357467) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.156574739024922 × 6371000     		do = 47.8119801553997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55563660--0.55558867) × cos(1.41356717) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.156582146516367 × 6371000     		du = 47.8142421220245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41357467)-sin(1.41356717))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156574739024922-0.156582146516367)×R²
    abs(-0.55558867--0.55563660)×7.40749144495512e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.40749144495512e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.40749144495512e-06×40589641000000     		ar = 2284.62998304126m²