Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53944 / 21542
↖ ↑ ↗
← N 52.355474°
E116.323242°		 ← 373.08 m → N 52.355474°
E116.328736°		 →
↑
373.09 m
↓
↑
373.09 m
↓
N 52.352119°
E116.323242°		 ← 373.11 m →
139 198 m²		 N 52.352119°
E116.328736°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823127746582031 y=0.328712463378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823127746582031 × 216)
    floor (0.823127746582031 × 65536)
    floor (53944.5)     		tx = 53944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328712463378906 × 216)
    floor (0.328712463378906 × 65536)
    floor (21542.5)     		ty = 21542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53944 / 21542 ti = "16/53944/21542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53944/21542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53944 ÷ 216
    53944 ÷ 65536     		x = 0.8231201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21542 ÷ 216
    21542 ÷ 65536     		y = 0.328704833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8231201171875 × 2 - 1) × π
    0.646240234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.03022357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328704833984375 × 2 - 1) × π
    0.34259033203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.0762792702695
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03022357} λ = 2.03022357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0762792702695))-π/2
    2×atan(2.93374355187808)-π/2
    2×1.24228586221758-π/2
    2.48457172443517-1.57079632675     		φ = 0.91377540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03022357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.323242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91377540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.355474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53944 KachelY 21542 2.03022357 0.91377540 116.323242 52.355474
    Oben rechts KachelX + 1 53945 KachelY 21542 2.03031945 0.91377540 116.328736 52.355474
    Unten links KachelX 53944 KachelY + 1 21543 2.03022357 0.91371684 116.323242 52.352119
    Unten rechts KachelX + 1 53945 KachelY + 1 21543 2.03031945 0.91371684 116.328736 52.352119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91377540-0.91371684) × R
    5.85600000000408e-05 × 6371000     		dl = 373.08576000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91377540-0.91371684) × R
    5.85600000000408e-05 × 6371000     		dr = 373.08576000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03022357-2.03031945) × cos(0.91377540) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.610760690099066 × 6371000     		do = 373.084071472591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03022357-2.03031945) × cos(0.91371684) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.610807057752451 × 6371000     		du = 373.112395222285m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91377540)-sin(0.91371684))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.610760690099066-0.610807057752451)×R²
    abs(2.03031945-2.03022357)×4.63676533849489e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.63676533849489e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.63676533849489e-05×40589641000000     		ar = 139197.63798279m²