Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53944 / 20862
↖ ↑ ↗
← N 54.578430°
E116.323242°		 ← 354.04 m → N 54.578430°
E116.328736°		 →
↑
354.04 m
↓
↑
354.04 m
↓
N 54.575246°
E116.323242°		 ← 354.07 m →
125 349 m²		 N 54.575246°
E116.328736°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20862 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823127746582031 y=0.318336486816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823127746582031 × 216)
    floor (0.823127746582031 × 65536)
    floor (53944.5)     		tx = 53944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318336486816406 × 216)
    floor (0.318336486816406 × 65536)
    floor (20862.5)     		ty = 20862
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53944 / 20862 ti = "16/53944/20862"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53944/20862.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53944 ÷ 216
    53944 ÷ 65536     		x = 0.8231201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20862 ÷ 216
    20862 ÷ 65536     		y = 0.318328857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8231201171875 × 2 - 1) × π
    0.646240234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.03022357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318328857421875 × 2 - 1) × π
    0.36334228515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.14147345375278
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03022357} λ = 2.03022357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14147345375278))-π/2
    2×atan(3.13137890964577)-π/2
    2×1.2616848127798-π/2
    2.5233696255596-1.57079632675     		φ = 0.95257330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03022357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.323242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95257330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.578430°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53944 KachelY 20862 2.03022357 0.95257330 116.323242 54.578430
    Oben rechts KachelX + 1 53945 KachelY 20862 2.03031945 0.95257330 116.328736 54.578430
    Unten links KachelX 53944 KachelY + 1 20863 2.03022357 0.95251773 116.323242 54.575246
    Unten rechts KachelX + 1 53945 KachelY + 1 20863 2.03031945 0.95251773 116.328736 54.575246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95257330-0.95251773) × R
    5.55700000000048e-05 × 6371000     		dl = 354.03647000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95257330-0.95251773) × R
    5.55700000000048e-05 × 6371000     		dr = 354.03647000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03022357-2.03031945) × cos(0.95257330) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.57958800374084 × 6371000     		do = 354.042189875105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03022357-2.03031945) × cos(0.95251773) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.579633287375457 × 6371000     		du = 354.069851450331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95257330)-sin(0.95251773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.57958800374084-0.579633287375457)×R²
    abs(2.03031945-2.03022357)×4.52836346176433e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.52836346176433e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.52836346176433e-05×40589641000000     		ar = 125348.743770208m²