Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53943 / 20863
N 54.575246°
E116.317749°
← 354.03 m → N 54.575246°
E116.323242°

354.04 m

354.04 m
N 54.572062°
E116.317749°
← 354.06 m →
125 345 m²
N 54.572062°
E116.323242°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20863 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823112487792969 y=0.318351745605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823112487792969 × 216)
    floor (0.823112487792969 × 65536)
    floor (53943.5)
    tx = 53943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318351745605469 × 216)
    floor (0.318351745605469 × 65536)
    floor (20863.5)
    ty = 20863
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53943 / 20863 ti = "16/53943/20863"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53943/20863.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53943 ÷ 216
    53943 ÷ 65536
    x = 0.823104858398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20863 ÷ 216
    20863 ÷ 65536
    y = 0.318344116210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.823104858398438 × 2 - 1) × π
    0.646209716796875 × 3.1415926535
    Λ = 2.03012770
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.318344116210938 × 2 - 1) × π
    0.363311767578125 × 3.1415926535
    Φ = 1.14137757995354
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03012770} λ = 2.03012770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14137757995354))-π/2
    2×atan(3.13107870684387)-π/2
    2×1.26165702804243-π/2
    2.52331405608487-1.57079632675
    φ = 0.95251773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03012770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.317749°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95251773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.575246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53943 KachelY 20863 2.03012770 0.95251773 116.317749 54.575246
    Oben rechts KachelX + 1 53944 KachelY 20863 2.03022357 0.95251773 116.323242 54.575246
    Unten links KachelX 53943 KachelY + 1 20864 2.03012770 0.95246216 116.317749 54.572062
    Unten rechts KachelX + 1 53944 KachelY + 1 20864 2.03022357 0.95246216 116.323242 54.572062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(0.95251773-0.95246216) × R
    5.55700000000048e-05 × 6371000
    dl = 354.03647000003m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(0.95251773-0.95246216) × R
    5.55700000000048e-05 × 6371000
    dr = 354.03647000003m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(2.03012770-2.03022357) × cos(0.95251773) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.579633287375457 × 6371000
    do = 354.032923013817m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(2.03012770-2.03022357) × cos(0.95246216) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.579678569220153 × 6371000
    du = 354.06058061076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(0.95251773)-sin(0.95246216))×
    abs(λ12)×abs(0.579633287375457-0.579678569220153)×
    abs(2.03022357-2.03012770)×4.52818446955439e-05×
    9.58699999999979e-05×4.52818446955439e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.52818446955439e-05×40589641000000
    ar = 125345.462258895m²