Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53943 / 13909
↖ ↑ ↗
← N 80.376759°
W 31.841126°		 ← 51.06 m → N 80.376759°
W 31.838379°		 →
↑
51.03 m
↓
↑
51.03 m
↓
N 80.376300°
W 31.841126°		 ← 51.06 m →
2 606 m²		 N 80.376300°
W 31.838379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13909 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411556243896484 y=0.106121063232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411556243896484 × 217)
    floor (0.411556243896484 × 131072)
    floor (53943.5)     		tx = 53943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106121063232422 × 217)
    floor (0.106121063232422 × 131072)
    floor (13909.5)     		ty = 13909
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53943 / 13909 ti = "17/53943/13909"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53943/13909.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53943 ÷ 217
    53943 ÷ 131072     		x = 0.411552429199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13909 ÷ 217
    13909 ÷ 131072     		y = 0.106117248535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411552429199219 × 2 - 1) × π
    -0.176895141601562 × 3.1415926535     		Λ = -0.55573248
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106117248535156 × 2 - 1) × π
    0.787765502929688 × 3.1415926535     		Φ = 2.47483831668464
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55573248} λ = -0.55573248}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47483831668464))-π/2
    2×atan(11.8797861945956)-π/2
    2×1.48681770339231-π/2
    2.97363540678461-1.57079632675     		φ = 1.40283908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55573248} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.841126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40283908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.376759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53943 KachelY 13909 -0.55573248 1.40283908 -31.841126 80.376759
    Oben rechts KachelX + 1 53944 KachelY 13909 -0.55568454 1.40283908 -31.838379 80.376759
    Unten links KachelX 53943 KachelY + 1 13910 -0.55573248 1.40283107 -31.841126 80.376300
    Unten rechts KachelX + 1 53944 KachelY + 1 13910 -0.55568454 1.40283107 -31.838379 80.376300
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40283908-1.40283107) × R
    8.00999999994723e-06 × 6371000     		dl = 51.0317099996638m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40283908-1.40283107) × R
    8.00999999994723e-06 × 6371000     		dr = 51.0317099996638m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55573248--0.55568454) × cos(1.40283908) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167168691040322 × 6371000     		do = 51.0576211657882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55573248--0.55568454) × cos(1.40283107) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167176588320707 × 6371000     		du = 51.0600331984938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40283908)-sin(1.40283107))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167168691040322-0.167176588320707)×R²
    abs(-0.55568454--0.55573248)×7.89728038505522e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.89728038505522e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.89728038505522e-06×40589641000000     		ar = 2605.61926167694m²