Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53942 / 49977
↖ ↑ ↗
← S 68.255145°
E116.312256°		 ← 226.28 m → S 68.255145°
E116.317749°		 →
↑
226.30 m
↓
↑
226.30 m
↓
S 68.257181°
E116.312256°		 ← 226.26 m →
51 205 m²		 S 68.257181°
E116.317749°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53942 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823097229003906 y=0.762596130371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823097229003906 × 216)
    floor (0.823097229003906 × 65536)
    floor (53942.5)     		tx = 53942
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762596130371094 × 216)
    floor (0.762596130371094 × 65536)
    floor (49977.5)     		ty = 49977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53942 / 49977 ti = "16/53942/49977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53942/49977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53942 ÷ 216
    53942 ÷ 65536     		x = 0.823089599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49977 ÷ 216
    49977 ÷ 65536     		y = 0.762588500976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823089599609375 × 2 - 1) × π
    0.64617919921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.03003183
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762588500976562 × 2 - 1) × π
    -0.525177001953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.64989221112309
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03003183} λ = 2.03003183}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64989221112309))-π/2
    2×atan(0.192070610580415)-π/2
    2×0.189759651268828-π/2
    0.379519302537656-1.57079632675     		φ = -1.19127702
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03003183} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.312256°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19127702 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.255145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53942 KachelY 49977 2.03003183 -1.19127702 116.312256 -68.255145
    Oben rechts KachelX + 1 53943 KachelY 49977 2.03012770 -1.19127702 116.317749 -68.255145
    Unten links KachelX 53942 KachelY + 1 49978 2.03003183 -1.19131254 116.312256 -68.257181
    Unten rechts KachelX + 1 53943 KachelY + 1 49978 2.03012770 -1.19131254 116.317749 -68.257181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19127702--1.19131254) × R
    3.55199999999556e-05 × 6371000     		dl = 226.297919999717m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19127702--1.19131254) × R
    3.55199999999556e-05 × 6371000     		dr = 226.297919999717m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03003183-2.03012770) × cos(-1.19127702) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.370474023796487 × 6371000     		do = 226.281002837578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03003183-2.03012770) × cos(-1.19131254) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.370441031065563 × 6371000     		du = 226.260851281031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19127702)-sin(-1.19131254))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370474023796487-0.370441031065563)×R²
    abs(2.03012770-2.03003183)×3.2992730924164e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.2992730924164e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.2992730924164e-05×40589641000000     		ar = 51204.6401554178m²