Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53941 / 13899
↖ ↑ ↗
← N 80.381349°
W 31.846619°		 ← 51.03 m → N 80.381349°
W 31.843872°		 →
↑
51.03 m
↓
↑
51.03 m
↓
N 80.380890°
W 31.846619°		 ← 51.04 m →
2 604 m²		 N 80.380890°
W 31.843872°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53941 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13899 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411540985107422 y=0.106044769287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411540985107422 × 217)
    floor (0.411540985107422 × 131072)
    floor (53941.5)     		tx = 53941
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106044769287109 × 217)
    floor (0.106044769287109 × 131072)
    floor (13899.5)     		ty = 13899
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53941 / 13899 ti = "17/53941/13899"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53941/13899.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53941 ÷ 217
    53941 ÷ 131072     		x = 0.411537170410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13899 ÷ 217
    13899 ÷ 131072     		y = 0.106040954589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411537170410156 × 2 - 1) × π
    -0.176925659179688 × 3.1415926535     		Λ = -0.55582835
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106040954589844 × 2 - 1) × π
    0.787918090820312 × 3.1415926535     		Φ = 2.47531768568084
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55582835} λ = -0.55582835}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47531768568084))-π/2
    2×atan(11.8854823609525)-π/2
    2×1.48685776166909-π/2
    2.97371552333818-1.57079632675     		φ = 1.40291920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55582835} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.846619°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40291920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.381349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53941 KachelY 13899 -0.55582835 1.40291920 -31.846619 80.381349
    Oben rechts KachelX + 1 53942 KachelY 13899 -0.55578041 1.40291920 -31.843872 80.381349
    Unten links KachelX 53941 KachelY + 1 13900 -0.55582835 1.40291119 -31.846619 80.380890
    Unten rechts KachelX + 1 53942 KachelY + 1 13900 -0.55578041 1.40291119 -31.843872 80.380890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40291920-1.40291119) × R
    8.00999999994723e-06 × 6371000     		dl = 51.0317099996638m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40291920-1.40291119) × R
    8.00999999994723e-06 × 6371000     		dr = 51.0317099996638m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55582835--0.55578041) × cos(1.40291920) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167089697927815 × 6371000     		do = 51.0334946359458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55582835--0.55578041) × cos(1.40291119) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167097595315459 × 6371000     		du = 51.0359067014112m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40291920)-sin(1.40291119))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167089697927815-0.167097595315459)×R²
    abs(-0.55578041--0.55582835)×7.89738764461756e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.89738764461756e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.89738764461756e-06×40589641000000     		ar = 2604.38804461805m²