Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53940 / 23188
↖ ↑ ↗
← N 46.483265°
E116.301270°		 ← 420.57 m → N 46.483265°
E116.306763°		 →
↑
420.61 m
↓
↑
420.61 m
↓
N 46.479482°
E116.301270°		 ← 420.60 m →
176 903 m²		 N 46.479482°
E116.306763°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823066711425781 y=0.353828430175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823066711425781 × 216)
    floor (0.823066711425781 × 65536)
    floor (53940.5)     		tx = 53940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353828430175781 × 216)
    floor (0.353828430175781 × 65536)
    floor (23188.5)     		ty = 23188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53940 / 23188 ti = "16/53940/23188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53940/23188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53940 ÷ 216
    53940 ÷ 65536     		x = 0.82305908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23188 ÷ 216
    23188 ÷ 65536     		y = 0.35382080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82305908203125 × 2 - 1) × π
    0.6461181640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.02984008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35382080078125 × 2 - 1) × π
    0.2923583984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.918470996720276
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02984008} λ = 2.02984008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.918470996720276))-π/2
    2×atan(2.50545660837949)-π/2
    2×1.19104117168837-π/2
    2.38208234337674-1.57079632675     		φ = 0.81128602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02984008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.301270°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81128602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.483265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53940 KachelY 23188 2.02984008 0.81128602 116.301270 46.483265
    Oben rechts KachelX + 1 53941 KachelY 23188 2.02993595 0.81128602 116.306763 46.483265
    Unten links KachelX 53940 KachelY + 1 23189 2.02984008 0.81122000 116.301270 46.479482
    Unten rechts KachelX + 1 53941 KachelY + 1 23189 2.02993595 0.81122000 116.306763 46.479482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81128602-0.81122000) × R
    6.602e-05 × 6371000     		dl = 420.61342m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81128602-0.81122000) × R
    6.602e-05 × 6371000     		dr = 420.61342m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02984008-2.02993595) × cos(0.81128602) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.688566415253978 × 6371000     		do = 420.567945269862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02984008-2.02993595) × cos(0.81122000) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.688614289693544 × 6371000     		du = 420.597186392045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81128602)-sin(0.81122000))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.688566415253978-0.688614289693544)×R²
    abs(2.02993595-2.02984008)×4.78744395662201e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78744395662201e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78744395662201e-05×40589641000000     		ar = 176902.671470756m²