Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53940 / 18735
↖ ↑ ↗
← N 77.888614°
W 31.849365°		 ← 64.08 m → N 77.888614°
W 31.846619°		 →
↑
64.09 m
↓
↑
64.09 m
↓
N 77.888038°
W 31.849365°		 ← 64.09 m →
4 107 m²		 N 77.888038°
W 31.846619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411533355712891 y=0.142940521240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411533355712891 × 217)
    floor (0.411533355712891 × 131072)
    floor (53940.5)     		tx = 53940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142940521240234 × 217)
    floor (0.142940521240234 × 131072)
    floor (18735.5)     		ty = 18735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53940 / 18735 ti = "17/53940/18735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53940/18735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53940 ÷ 217
    53940 ÷ 131072     		x = 0.411529541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18735 ÷ 217
    18735 ÷ 131072     		y = 0.142936706542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411529541015625 × 2 - 1) × π
    -0.17694091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55587629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142936706542969 × 2 - 1) × π
    0.714126586914062 × 3.1415926535     		Φ = 2.24349483911825
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55587629} λ = -0.55587629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24349483911825))-π/2
    2×atan(9.4262169005686)-π/2
    2×1.46510454710829-π/2
    2.93020909421658-1.57079632675     		φ = 1.35941277
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55587629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.849365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35941277 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.888614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53940 KachelY 18735 -0.55587629 1.35941277 -31.849365 77.888614
    Oben rechts KachelX + 1 53941 KachelY 18735 -0.55582835 1.35941277 -31.846619 77.888614
    Unten links KachelX 53940 KachelY + 1 18736 -0.55587629 1.35940271 -31.849365 77.888038
    Unten rechts KachelX + 1 53941 KachelY + 1 18736 -0.55582835 1.35940271 -31.846619 77.888038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35941277-1.35940271) × R
    1.0060000000145e-05 × 6371000     		dl = 64.0922600009235m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35941277-1.35940271) × R
    1.0060000000145e-05 × 6371000     		dr = 64.0922600009235m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55587629--0.55582835) × cos(1.35941277) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.209812861212072 × 6371000     		do = 64.0822483973207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55587629--0.55582835) × cos(1.35940271) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.209822697281575 × 6371000     		du = 64.0852525861274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35941277)-sin(1.35940271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209812861212072-0.209822697281575)×R²
    abs(-0.55582835--0.55587629)×9.83606950299976e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.83606950299976e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.83606950299976e-06×40589641000000     		ar = 4107.27239843636m²