Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53940 / 13898
↖ ↑ ↗
← N 80.381808°
W 31.849365°		 ← 51.03 m → N 80.381808°
W 31.846619°		 →
↑
51.03 m
↓
↑
51.03 m
↓
N 80.381349°
W 31.849365°		 ← 51.03 m →
2 604 m²		 N 80.381349°
W 31.846619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13898 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411533355712891 y=0.106037139892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411533355712891 × 217)
    floor (0.411533355712891 × 131072)
    floor (53940.5)     		tx = 53940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106037139892578 × 217)
    floor (0.106037139892578 × 131072)
    floor (13898.5)     		ty = 13898
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53940 / 13898 ti = "17/53940/13898"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53940/13898.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53940 ÷ 217
    53940 ÷ 131072     		x = 0.411529541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13898 ÷ 217
    13898 ÷ 131072     		y = 0.106033325195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411529541015625 × 2 - 1) × π
    -0.17694091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55587629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106033325195312 × 2 - 1) × π
    0.787933349609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.47536562258046
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55587629} λ = -0.55587629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47536562258046))-π/2
    2×atan(11.8860521277837)-π/2
    2×1.48686176645557-π/2
    2.97372353291114-1.57079632675     		φ = 1.40292721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55587629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.849365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40292721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.381808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53940 KachelY 13898 -0.55587629 1.40292721 -31.849365 80.381808
    Oben rechts KachelX + 1 53941 KachelY 13898 -0.55582835 1.40292721 -31.846619 80.381808
    Unten links KachelX 53940 KachelY + 1 13899 -0.55587629 1.40291920 -31.849365 80.381349
    Unten rechts KachelX + 1 53941 KachelY + 1 13899 -0.55582835 1.40291920 -31.846619 80.381349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40292721-1.40291920) × R
    8.01000000016927e-06 × 6371000     		dl = 51.0317100010784m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40292721-1.40291920) × R
    8.01000000016927e-06 × 6371000     		dr = 51.0317100010784m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55587629--0.55582835) × cos(1.40292721) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.167081800529449 × 6371000     		do = 51.0310825673242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55587629--0.55582835) × cos(1.40291920) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.167089697927815 × 6371000     		du = 51.033494636064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40292721)-sin(1.40291920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167081800529449-0.167089697927815)×R²
    abs(-0.55582835--0.55587629)×7.89739836531966e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.89739836531966e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.89739836531966e-06×40589641000000     		ar = 2604.26495260136m²