Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5394 / 2770
↖ ↑ ↗
← N 81.592487°
W120.739746°		 ← 178.62 m → N 81.592487°
W120.728760°		 →
↑
178.64 m
↓
↑
178.64 m
↓
N 81.590880°
W120.739746°		 ← 178.65 m →
31 912 m²		 N 81.590880°
W120.728760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5394 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2770 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.164627075195312 y=0.0845489501953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.164627075195312 × 215)
    floor (0.164627075195312 × 32768)
    floor (5394.5)     		tx = 5394
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0845489501953125 × 215)
    floor (0.0845489501953125 × 32768)
    floor (2770.5)     		ty = 2770
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5394 / 2770 ti = "15/5394/2770"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5394/2770.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5394 ÷ 215
    5394 ÷ 32768     		x = 0.16461181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2770 ÷ 215
    2770 ÷ 32768     		y = 0.08453369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16461181640625 × 2 - 1) × π
    -0.6707763671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.10730611
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08453369140625 × 2 - 1) × π
    0.8309326171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.61045180570978
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10730611} λ = -2.10730611}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61045180570978))-π/2
    2×atan(13.6051963688386)-π/2
    2×1.49742693375414-π/2
    2.99485386750828-1.57079632675     		φ = 1.42405754
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10730611} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.739746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42405754 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.592487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5394 KachelY 2770 -2.10730611 1.42405754 -120.739746 81.592487
    Oben rechts KachelX + 1 5395 KachelY 2770 -2.10711436 1.42405754 -120.728760 81.592487
    Unten links KachelX 5394 KachelY + 1 2771 -2.10730611 1.42402950 -120.739746 81.590880
    Unten rechts KachelX + 1 5395 KachelY + 1 2771 -2.10711436 1.42402950 -120.728760 81.590880
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42405754-1.42402950) × R
    2.80399999998959e-05 × 6371000     		dl = 178.642839999337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42405754-1.42402950) × R
    2.80399999998959e-05 × 6371000     		dr = 178.642839999337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10730611--2.10711436) × cos(1.42405754) × R
    0.000191749999999935 × 0.146212750218484 × 6371000     		do = 178.619234517286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10730611--2.10711436) × cos(1.42402950) × R
    0.000191749999999935 × 0.14624048881985 × 6371000     		du = 178.653121081455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42405754)-sin(1.42402950))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146212750218484-0.14624048881985)×R²
    abs(-2.10711436--2.10730611)×2.77386013657899e-05×R²
    0.000191749999999935×2.77386013657899e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.77386013657899e-05×40589641000000     		ar = 31912.0741306289m²