Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53939 / 21106
↖ ↑ ↗
← N 53.794162°
E116.295776°		 ← 360.82 m → N 53.794162°
E116.301270°		 →
↑
360.79 m
↓
↑
360.79 m
↓
N 53.790917°
E116.295776°		 ← 360.85 m →
130 186 m²		 N 53.790917°
E116.301270°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53939 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823051452636719 y=0.322059631347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823051452636719 × 216)
    floor (0.823051452636719 × 65536)
    floor (53939.5)     		tx = 53939
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322059631347656 × 216)
    floor (0.322059631347656 × 65536)
    floor (21106.5)     		ty = 21106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53939 / 21106 ti = "16/53939/21106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53939/21106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53939 ÷ 216
    53939 ÷ 65536     		x = 0.823043823242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21106 ÷ 216
    21106 ÷ 65536     		y = 0.322052001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823043823242188 × 2 - 1) × π
    0.646087646484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.02974420
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322052001953125 × 2 - 1) × π
    0.35589599609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.11808024673819
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02974420} λ = 2.02974420}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11808024673819))-π/2
    2×atan(3.05897608351436)-π/2
    2×1.25484078459441-π/2
    2.50968156918883-1.57079632675     		φ = 0.93888524
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02974420} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.295776°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93888524 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.794162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53939 KachelY 21106 2.02974420 0.93888524 116.295776 53.794162
    Oben rechts KachelX + 1 53940 KachelY 21106 2.02984008 0.93888524 116.301270 53.794162
    Unten links KachelX 53939 KachelY + 1 21107 2.02974420 0.93882861 116.295776 53.790917
    Unten rechts KachelX + 1 53940 KachelY + 1 21107 2.02984008 0.93882861 116.301270 53.790917
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93888524-0.93882861) × R
    5.6630000000002e-05 × 6371000     		dl = 360.789730000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93888524-0.93882861) × R
    5.6630000000002e-05 × 6371000     		dr = 360.789730000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02974420-2.02984008) × cos(0.93888524) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.590687891850894 × 6371000     		do = 360.822572954962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02974420-2.02984008) × cos(0.93882861) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.590733585657887 × 6371000     		du = 360.850485084591m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93888524)-sin(0.93882861))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.590687891850894-0.590733585657887)×R²
    abs(2.02984008-2.02974420)×4.56938069937074e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.56938069937074e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.56938069937074e-05×40589641000000     		ar = 130186.113914024m²