Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53939 / 11597
↖ ↑ ↗
← N 81.382302°
W 31.852112°		 ← 45.76 m → N 81.382302°
W 31.849365°		 →
↑
45.81 m
↓
↑
45.81 m
↓
N 81.381890°
W 31.852112°		 ← 45.76 m →
2 096 m²		 N 81.381890°
W 31.849365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53939 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11597 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411525726318359 y=0.0884819030761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411525726318359 × 217)
    floor (0.411525726318359 × 131072)
    floor (53939.5)     		tx = 53939
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0884819030761719 × 217)
    floor (0.0884819030761719 × 131072)
    floor (11597.5)     		ty = 11597
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53939 / 11597 ti = "17/53939/11597"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53939/11597.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53939 ÷ 217
    53939 ÷ 131072     		x = 0.411521911621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11597 ÷ 217
    11597 ÷ 131072     		y = 0.0884780883789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411521911621094 × 2 - 1) × π
    -0.176956176757812 × 3.1415926535     		Λ = -0.55592422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0884780883789062 × 2 - 1) × π
    0.823043823242188 × 3.1415926535     		Φ = 2.58566842860621
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55592422} λ = -0.55592422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58566842860621))-π/2
    2×atan(13.2721576154661)-π/2
    2×1.4955927220992-π/2
    2.99118544419839-1.57079632675     		φ = 1.42038912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55592422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.852112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42038912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.382302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53939 KachelY 11597 -0.55592422 1.42038912 -31.852112 81.382302
    Oben rechts KachelX + 1 53940 KachelY 11597 -0.55587629 1.42038912 -31.849365 81.382302
    Unten links KachelX 53939 KachelY + 1 11598 -0.55592422 1.42038193 -31.852112 81.381890
    Unten rechts KachelX + 1 53940 KachelY + 1 11598 -0.55587629 1.42038193 -31.849365 81.381890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42038912-1.42038193) × R
    7.19000000004577e-06 × 6371000     		dl = 45.8074900002916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42038912-1.42038193) × R
    7.19000000004577e-06 × 6371000     		dr = 45.8074900002916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55592422--0.55587629) × cos(1.42038912) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.149840754374286 × 6371000     		do = 45.7556769323852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55592422--0.55587629) × cos(1.42038193) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.149847863196346 × 6371000     		du = 45.7578476967205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42038912)-sin(1.42038193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149840754374286-0.149847863196346)×R²
    abs(-0.55587629--0.55592422)×7.10882206036989e-06×R²
    4.79299999999183e-05×7.10882206036989e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×7.10882206036989e-06×40589641000000     		ar = 2096.00243221082m²