Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53938 / 23142
↖ ↑ ↗
← N 46.656977°
E116.290283°		 ← 419.22 m → N 46.656977°
E116.295776°		 →
↑
419.21 m
↓
↑
419.21 m
↓
N 46.653207°
E116.290283°		 ← 419.25 m →
175 749 m²		 N 46.653207°
E116.295776°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823036193847656 y=0.353126525878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823036193847656 × 216)
    floor (0.823036193847656 × 65536)
    floor (53938.5)     		tx = 53938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353126525878906 × 216)
    floor (0.353126525878906 × 65536)
    floor (23142.5)     		ty = 23142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53938 / 23142 ti = "16/53938/23142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53938/23142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53938 ÷ 216
    53938 ÷ 65536     		x = 0.823028564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23142 ÷ 216
    23142 ÷ 65536     		y = 0.353118896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823028564453125 × 2 - 1) × π
    0.64605712890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.02964833
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.353118896484375 × 2 - 1) × π
    0.29376220703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.922881191485321
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02964833} λ = 2.02964833}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.922881191485321))-π/2
    2×atan(2.51653056119332)-π/2
    2×1.19255709998654-π/2
    2.38511419997307-1.57079632675     		φ = 0.81431787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02964833} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.290283°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81431787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.656977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53938 KachelY 23142 2.02964833 0.81431787 116.290283 46.656977
    Oben rechts KachelX + 1 53939 KachelY 23142 2.02974420 0.81431787 116.295776 46.656977
    Unten links KachelX 53938 KachelY + 1 23143 2.02964833 0.81425207 116.290283 46.653207
    Unten rechts KachelX + 1 53939 KachelY + 1 23143 2.02974420 0.81425207 116.295776 46.653207
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81431787-0.81425207) × R
    6.58000000000047e-05 × 6371000     		dl = 419.21180000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81431787-0.81425207) × R
    6.58000000000047e-05 × 6371000     		dr = 419.21180000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02964833-2.02974420) × cos(0.81431787) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.68636463731308 × 6371000     		do = 419.223126231306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02964833-2.02974420) × cos(0.81425207) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.686412489375817 × 6371000     		du = 419.252353685995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81431787)-sin(0.81425207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.68636463731308-0.686412489375817)×R²
    abs(2.02974420-2.02964833)×4.78520627369416e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78520627369416e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78520627369416e-05×40589641000000     		ar = 175749.407659419m²