Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53938 / 20874
↖ ↑ ↗
← N 54.540207°
E116.290283°		 ← 354.34 m → N 54.540207°
E116.295776°		 →
↑
354.36 m
↓
↑
354.36 m
↓
N 54.537020°
E116.290283°		 ← 354.36 m →
125 566 m²		 N 54.537020°
E116.295776°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823036193847656 y=0.318519592285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823036193847656 × 216)
    floor (0.823036193847656 × 65536)
    floor (53938.5)     		tx = 53938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318519592285156 × 216)
    floor (0.318519592285156 × 65536)
    floor (20874.5)     		ty = 20874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53938 / 20874 ti = "16/53938/20874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53938/20874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53938 ÷ 216
    53938 ÷ 65536     		x = 0.823028564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20874 ÷ 216
    20874 ÷ 65536     		y = 0.318511962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.823028564453125 × 2 - 1) × π
    0.64605712890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.02964833
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318511962890625 × 2 - 1) × π
    0.36297607421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.1403229681619
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02964833} λ = 2.02964833}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1403229681619))-π/2
    2×atan(3.12777837490945)-π/2
    2×1.26135125264161-π/2
    2.52270250528322-1.57079632675     		φ = 0.95190618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02964833} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.290283°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95190618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.540207°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53938 KachelY 20874 2.02964833 0.95190618 116.290283 54.540207
    Oben rechts KachelX + 1 53939 KachelY 20874 2.02974420 0.95190618 116.295776 54.540207
    Unten links KachelX 53938 KachelY + 1 20875 2.02964833 0.95185056 116.290283 54.537020
    Unten rechts KachelX + 1 53939 KachelY + 1 20875 2.02974420 0.95185056 116.295776 54.537020
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95190618-0.95185056) × R
    5.5620000000034e-05 × 6371000     		dl = 354.355020000216m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95190618-0.95185056) × R
    5.5620000000034e-05 × 6371000     		dr = 354.355020000216m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02964833-2.02974420) × cos(0.95190618) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.580131517257049 × 6371000     		do = 354.337235732142m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02964833-2.02974420) × cos(0.95185056) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.580176820118876 × 6371000     		du = 354.364906166092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95190618)-sin(0.95185056))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580131517257049-0.580176820118876)×R²
    abs(2.02974420-2.02964833)×4.53028618269125e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.53028618269125e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.53028618269125e-05×40589641000000     		ar = 125566.080865735m²