Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53938 / 13375
↖ ↑ ↗
← N 80.618872°
W 31.854858°		 ← 49.78 m → N 80.618872°
W 31.852112°		 →
↑
49.76 m
↓
↑
49.76 m
↓
N 80.618424°
W 31.854858°		 ← 49.79 m →
2 477 m²		 N 80.618424°
W 31.852112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411518096923828 y=0.102046966552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411518096923828 × 217)
    floor (0.411518096923828 × 131072)
    floor (53938.5)     		tx = 53938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102046966552734 × 217)
    floor (0.102046966552734 × 131072)
    floor (13375.5)     		ty = 13375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53938 / 13375 ti = "17/53938/13375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53938/13375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53938 ÷ 217
    53938 ÷ 131072     		x = 0.411514282226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13375 ÷ 217
    13375 ÷ 131072     		y = 0.102043151855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411514282226562 × 2 - 1) × π
    -0.176971435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55597216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102043151855469 × 2 - 1) × π
    0.795913696289062 × 3.1415926535     		Φ = 2.50043662108175
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55597216} λ = -0.55597216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50043662108175))-π/2
    2×atan(12.187814255787)-π/2
    2×1.48893054036758-π/2
    2.97786108073516-1.57079632675     		φ = 1.40706475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55597216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.854858°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40706475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.618872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53938 KachelY 13375 -0.55597216 1.40706475 -31.854858 80.618872
    Oben rechts KachelX + 1 53939 KachelY 13375 -0.55592422 1.40706475 -31.852112 80.618872
    Unten links KachelX 53938 KachelY + 1 13376 -0.55597216 1.40705694 -31.854858 80.618424
    Unten rechts KachelX + 1 53939 KachelY + 1 13376 -0.55592422 1.40705694 -31.852112 80.618424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40706475-1.40705694) × R
    7.8100000000525e-06 × 6371000     		dl = 49.7575100003345m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40706475-1.40705694) × R
    7.8100000000525e-06 × 6371000     		dr = 49.7575100003345m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55597216--0.55592422) × cos(1.40706475) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.163001003261569 × 6371000     		do = 49.7847020419897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55597216--0.55592422) × cos(1.40705694) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.163008708804902 × 6371000     		du = 49.7870555132643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40706475)-sin(1.40705694))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163001003261569-0.163008708804902)×R²
    abs(-0.55592422--0.55597216)×7.70554333301421e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.70554333301421e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.70554333301421e-06×40589641000000     		ar = 2477.22136116352m²