Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53938 / 13374
↖ ↑ ↗
← N 80.619320°
W 31.854858°		 ← 49.78 m → N 80.619320°
W 31.852112°		 →
↑
49.82 m
↓
↑
49.82 m
↓
N 80.618872°
W 31.854858°		 ← 49.78 m →
2 480 m²		 N 80.618872°
W 31.852112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13374 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411518096923828 y=0.102039337158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411518096923828 × 217)
    floor (0.411518096923828 × 131072)
    floor (53938.5)     		tx = 53938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102039337158203 × 217)
    floor (0.102039337158203 × 131072)
    floor (13374.5)     		ty = 13374
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53938 / 13374 ti = "17/53938/13374"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53938/13374.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53938 ÷ 217
    53938 ÷ 131072     		x = 0.411514282226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13374 ÷ 217
    13374 ÷ 131072     		y = 0.102035522460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411514282226562 × 2 - 1) × π
    -0.176971435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55597216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102035522460938 × 2 - 1) × π
    0.795928955078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.50048455798137
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55597216} λ = -0.55597216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50048455798137))-π/2
    2×atan(12.1883985158192)-π/2
    2×1.48893444715646-π/2
    2.97786889431293-1.57079632675     		φ = 1.40707257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55597216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.854858°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40707257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.619320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53938 KachelY 13374 -0.55597216 1.40707257 -31.854858 80.619320
    Oben rechts KachelX + 1 53939 KachelY 13374 -0.55592422 1.40707257 -31.852112 80.619320
    Unten links KachelX 53938 KachelY + 1 13375 -0.55597216 1.40706475 -31.854858 80.618872
    Unten rechts KachelX + 1 53939 KachelY + 1 13375 -0.55592422 1.40706475 -31.852112 80.618872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40707257-1.40706475) × R
    7.81999999999172e-06 × 6371000     		dl = 49.8212199999473m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40707257-1.40706475) × R
    7.81999999999172e-06 × 6371000     		dr = 49.8212199999473m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55597216--0.55592422) × cos(1.40707257) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.162993287842022 × 6371000     		do = 49.7823455542651m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55597216--0.55592422) × cos(1.40706475) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.163001003261569 × 6371000     		du = 49.7847020419897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40707257)-sin(1.40706475))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162993287842022-0.163001003261569)×R²
    abs(-0.55592422--0.55597216)×7.71541954716626e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.71541954716626e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.71541954716626e-06×40589641000000     		ar = 2480.27589167658m²