Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53937 / 14930
↖ ↑ ↗
← N 79.896485°
W 31.857605°		 ← 53.58 m → N 79.896485°
W 31.854858°		 →
↑
53.58 m
↓
↑
53.58 m
↓
N 79.896003°
W 31.857605°		 ← 53.58 m →
2 871 m²		 N 79.896003°
W 31.854858°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14930 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411510467529297 y=0.113910675048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411510467529297 × 217)
    floor (0.411510467529297 × 131072)
    floor (53937.5)     		tx = 53937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113910675048828 × 217)
    floor (0.113910675048828 × 131072)
    floor (14930.5)     		ty = 14930
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53937 / 14930 ti = "17/53937/14930"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53937/14930.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53937 ÷ 217
    53937 ÷ 131072     		x = 0.411506652832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14930 ÷ 217
    14930 ÷ 131072     		y = 0.113906860351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411506652832031 × 2 - 1) × π
    -0.176986694335938 × 3.1415926535     		Λ = -0.55602010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113906860351562 × 2 - 1) × π
    0.772186279296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.42589474217256
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55602010} λ = -0.55602010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42589474217256))-π/2
    2×atan(11.3123465260111)-π/2
    2×1.48262652496923-π/2
    2.96525304993846-1.57079632675     		φ = 1.39445672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55602010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.857605°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39445672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.896485°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53937 KachelY 14930 -0.55602010 1.39445672 -31.857605 79.896485
    Oben rechts KachelX + 1 53938 KachelY 14930 -0.55597216 1.39445672 -31.854858 79.896485
    Unten links KachelX 53937 KachelY + 1 14931 -0.55602010 1.39444831 -31.857605 79.896003
    Unten rechts KachelX + 1 53938 KachelY + 1 14931 -0.55597216 1.39444831 -31.854858 79.896003
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39445672-1.39444831) × R
    8.40999999995873e-06 × 6371000     		dl = 53.5801099997371m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39445672-1.39444831) × R
    8.40999999995873e-06 × 6371000     		dr = 53.5801099997371m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55602010--0.55597216) × cos(1.39445672) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.175427127339144 × 6371000     		do = 53.5799601835971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55602010--0.55597216) × cos(1.39444831) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.175435406914183 × 6371000     		du = 53.5824889789304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39445672)-sin(1.39444831))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175427127339144-0.175435406914183)×R²
    abs(-0.55597216--0.55602010)×8.27957503951593e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.27957503951593e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.27957503951593e-06×40589641000000     		ar = 2870.88790713573m²