Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53936 / 21126
↖ ↑ ↗
← N 53.729217°
E116.279297°		 ← 361.38 m → N 53.729217°
E116.284790°		 →
↑
361.43 m
↓
↑
361.43 m
↓
N 53.725967°
E116.279297°		 ← 361.41 m →
130 618 m²		 N 53.725967°
E116.284790°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823005676269531 y=0.322364807128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823005676269531 × 216)
    floor (0.823005676269531 × 65536)
    floor (53936.5)     		tx = 53936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322364807128906 × 216)
    floor (0.322364807128906 × 65536)
    floor (21126.5)     		ty = 21126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53936 / 21126 ti = "16/53936/21126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53936/21126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53936 ÷ 216
    53936 ÷ 65536     		x = 0.822998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21126 ÷ 216
    21126 ÷ 65536     		y = 0.322357177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822998046875 × 2 - 1) × π
    0.64599609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.02945658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322357177734375 × 2 - 1) × π
    0.35528564453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.11616277075339
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02945658} λ = 2.02945658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11616277075339))-π/2
    2×atan(3.05311619023389)-π/2
    2×1.25427403146347-π/2
    2.50854806292693-1.57079632675     		φ = 0.93775174
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02945658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.279297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93775174 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.729217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53936 KachelY 21126 2.02945658 0.93775174 116.279297 53.729217
    Oben rechts KachelX + 1 53937 KachelY 21126 2.02955246 0.93775174 116.284790 53.729217
    Unten links KachelX 53936 KachelY + 1 21127 2.02945658 0.93769501 116.279297 53.725967
    Unten rechts KachelX + 1 53937 KachelY + 1 21127 2.02955246 0.93769501 116.284790 53.725967
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93775174-0.93769501) × R
    5.67299999999493e-05 × 6371000     		dl = 361.426829999677m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93775174-0.93769501) × R
    5.67299999999493e-05 × 6371000     		dr = 361.426829999677m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02945658-2.02955246) × cos(0.93775174) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.591602133484188 × 6371000     		do = 361.381038809737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02945658-2.02955246) × cos(0.93769501) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.591647869963704 × 6371000     		du = 361.408977005939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93775174)-sin(0.93769501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591602133484188-0.591647869963704)×R²
    abs(2.02955246-2.02945658)×4.57364795161119e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.57364795161119e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.57364795161119e-05×40589641000000     		ar = 130617.852121015m²