Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53936 / 20877
↖ ↑ ↗
← N 54.530645°
E116.279297°		 ← 354.46 m → N 54.530645°
E116.284790°		 →
↑
354.42 m
↓
↑
354.42 m
↓
N 54.527458°
E116.279297°		 ← 354.48 m →
125 631 m²		 N 54.527458°
E116.284790°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20877 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823005676269531 y=0.318565368652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823005676269531 × 216)
    floor (0.823005676269531 × 65536)
    floor (53936.5)     		tx = 53936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318565368652344 × 216)
    floor (0.318565368652344 × 65536)
    floor (20877.5)     		ty = 20877
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53936 / 20877 ti = "16/53936/20877"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53936/20877.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53936 ÷ 216
    53936 ÷ 65536     		x = 0.822998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20877 ÷ 216
    20877 ÷ 65536     		y = 0.318557739257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822998046875 × 2 - 1) × π
    0.64599609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.02945658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318557739257812 × 2 - 1) × π
    0.362884521484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.14003534676418
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02945658} λ = 2.02945658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14003534676418))-π/2
    2×atan(3.1268788882835)-π/2
    2×1.26126781374949-π/2
    2.52253562749897-1.57079632675     		φ = 0.95173930
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02945658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.279297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95173930 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.530645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53936 KachelY 20877 2.02945658 0.95173930 116.279297 54.530645
    Oben rechts KachelX + 1 53937 KachelY 20877 2.02955246 0.95173930 116.284790 54.530645
    Unten links KachelX 53936 KachelY + 1 20878 2.02945658 0.95168367 116.279297 54.527458
    Unten rechts KachelX + 1 53937 KachelY + 1 20878 2.02955246 0.95168367 116.284790 54.527458
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95173930-0.95168367) × R
    5.56299999999732e-05 × 6371000     		dl = 354.418729999829m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95173930-0.95168367) × R
    5.56299999999732e-05 × 6371000     		dr = 354.418729999829m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02945658-2.02955246) × cos(0.95173930) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.580267436746432 × 6371000     		do = 354.457222532132m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02945658-2.02955246) × cos(0.95168367) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.580312742366653 × 6371000     		du = 354.484897537296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95173930)-sin(0.95168367))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580267436746432-0.580312742366653)×R²
    abs(2.02955246-2.02945658)×4.5305620220315e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.5305620220315e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.5305620220315e-05×40589641000000     		ar = 125631.182951456m²