Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53934 / 21044
↖ ↑ ↗
← N 53.994854°
E116.268310°		 ← 359.09 m → N 53.994854°
E116.273804°		 →
↑
359.07 m
↓
↑
359.07 m
↓
N 53.991625°
E116.268310°		 ← 359.12 m →
128 945 m²		 N 53.991625°
E116.273804°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53934 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822975158691406 y=0.321113586425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822975158691406 × 216)
    floor (0.822975158691406 × 65536)
    floor (53934.5)     		tx = 53934
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321113586425781 × 216)
    floor (0.321113586425781 × 65536)
    floor (21044.5)     		ty = 21044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53934 / 21044 ti = "16/53934/21044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53934/21044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53934 ÷ 216
    53934 ÷ 65536     		x = 0.822967529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21044 ÷ 216
    21044 ÷ 65536     		y = 0.32110595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822967529296875 × 2 - 1) × π
    0.64593505859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.02926483
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32110595703125 × 2 - 1) × π
    0.3577880859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.12402442229108
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02926483} λ = 2.02926483}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12402442229108))-π/2
    2×atan(3.07721332334609)-π/2
    2×1.25659215380487-π/2
    2.51318430760973-1.57079632675     		φ = 0.94238798
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02926483} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.268310°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94238798 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.994854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53934 KachelY 21044 2.02926483 0.94238798 116.268310 53.994854
    Oben rechts KachelX + 1 53935 KachelY 21044 2.02936071 0.94238798 116.273804 53.994854
    Unten links KachelX 53934 KachelY + 1 21045 2.02926483 0.94233162 116.268310 53.991625
    Unten rechts KachelX + 1 53935 KachelY + 1 21045 2.02936071 0.94233162 116.273804 53.991625
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94238798-0.94233162) × R
    5.63599999999775e-05 × 6371000     		dl = 359.069559999857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94238798-0.94233162) × R
    5.63599999999775e-05 × 6371000     		dr = 359.069559999857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02926483-2.02936071) × cos(0.94238798) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.587857912654176 × 6371000     		do = 359.093875975942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02926483-2.02936071) × cos(0.94233162) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.587903504942731 × 6371000     		du = 359.121726092882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94238798)-sin(0.94233162))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.587857912654176-0.587903504942731)×R²
    abs(2.02936071-2.02926483)×4.5592288555385e-05×R²
    9.58800000003812e-05×4.5592288555385e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×4.5592288555385e-05×40589641000000     		ar = 128944.68014418m²