Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53933 / 21082
↖ ↑ ↗
← N 53.871964°
E116.262817°		 ← 360.12 m → N 53.871964°
E116.268310°		 →
↑
360.15 m
↓
↑
360.15 m
↓
N 53.868725°
E116.262817°		 ← 360.14 m →
129 702 m²		 N 53.868725°
E116.268310°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53933 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822959899902344 y=0.321693420410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822959899902344 × 216)
    floor (0.822959899902344 × 65536)
    floor (53933.5)     		tx = 53933
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321693420410156 × 216)
    floor (0.321693420410156 × 65536)
    floor (21082.5)     		ty = 21082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53933 / 21082 ti = "16/53933/21082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53933/21082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53933 ÷ 216
    53933 ÷ 65536     		x = 0.822952270507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21082 ÷ 216
    21082 ÷ 65536     		y = 0.321685791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822952270507812 × 2 - 1) × π
    0.645904541015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.02916896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.321685791015625 × 2 - 1) × π
    0.35662841796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.12038121791995
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02916896} λ = 2.02916896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12038121791995))-π/2
    2×atan(3.06602280336883)-π/2
    2×1.25551973181148-π/2
    2.51103946362297-1.57079632675     		φ = 0.94024314
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02916896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.262817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94024314 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.871964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53933 KachelY 21082 2.02916896 0.94024314 116.262817 53.871964
    Oben rechts KachelX + 1 53934 KachelY 21082 2.02926483 0.94024314 116.268310 53.871964
    Unten links KachelX 53933 KachelY + 1 21083 2.02916896 0.94018661 116.262817 53.868725
    Unten rechts KachelX + 1 53934 KachelY + 1 21083 2.02926483 0.94018661 116.268310 53.868725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94024314-0.94018661) × R
    5.65299999999436e-05 × 6371000     		dl = 360.152629999641m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94024314-0.94018661) × R
    5.65299999999436e-05 × 6371000     		dr = 360.152629999641m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02916896-2.02926483) × cos(0.94024314) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.589591657923234 × 6371000     		do = 360.115373953527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02916896-2.02926483) × cos(0.94018661) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.589637316345676 × 6371000     		du = 360.143261559552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94024314)-sin(0.94018661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.589591657923234-0.589637316345676)×R²
    abs(2.02926483-2.02916896)×4.56584224424184e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.56584224424184e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.56584224424184e-05×40589641000000     		ar = 129701.520964541m²