Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53932 / 21084
↖ ↑ ↗
← N 53.865486°
E116.257324°		 ← 360.17 m → N 53.865486°
E116.262817°		 →
↑
360.22 m
↓
↑
360.22 m
↓
N 53.862246°
E116.257324°		 ← 360.20 m →
129 745 m²		 N 53.862246°
E116.262817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21084 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822944641113281 y=0.321723937988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822944641113281 × 216)
    floor (0.822944641113281 × 65536)
    floor (53932.5)     		tx = 53932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321723937988281 × 216)
    floor (0.321723937988281 × 65536)
    floor (21084.5)     		ty = 21084
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53932 / 21084 ti = "16/53932/21084"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53932/21084.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53932 ÷ 216
    53932 ÷ 65536     		x = 0.82293701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21084 ÷ 216
    21084 ÷ 65536     		y = 0.32171630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82293701171875 × 2 - 1) × π
    0.6458740234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.02907309
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32171630859375 × 2 - 1) × π
    0.3565673828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.12018947032147
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02907309} λ = 2.02907309}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12018947032147))-π/2
    2×atan(3.06543495722024)-π/2
    2×1.25546320104163-π/2
    2.51092640208326-1.57079632675     		φ = 0.94013008
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02907309} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.257324°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94013008 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.865486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53932 KachelY 21084 2.02907309 0.94013008 116.257324 53.865486
    Oben rechts KachelX + 1 53933 KachelY 21084 2.02916896 0.94013008 116.262817 53.865486
    Unten links KachelX 53932 KachelY + 1 21085 2.02907309 0.94007354 116.257324 53.862246
    Unten rechts KachelX + 1 53933 KachelY + 1 21085 2.02916896 0.94007354 116.262817 53.862246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94013008-0.94007354) × R
    5.65399999999938e-05 × 6371000     		dl = 360.216339999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94013008-0.94007354) × R
    5.65399999999938e-05 × 6371000     		dr = 360.216339999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02907309-2.02916896) × cos(0.94013008) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.589682972883849 × 6371000     		do = 360.171148014689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02907309-2.02916896) × cos(0.94007354) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.589728635613622 × 6371000     		du = 360.199038251579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94013008)-sin(0.94007354))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.589682972883849-0.589728635613622)×R²
    abs(2.02916896-2.02907309)×4.56627297730217e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.56627297730217e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.56627297730217e-05×40589641000000     		ar = 129744.556005517m²