Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53932 / 13380
↖ ↑ ↗
← N 80.616633°
W 31.871338°		 ← 49.79 m → N 80.616633°
W 31.868592°		 →
↑
49.82 m
↓
↑
49.82 m
↓
N 80.616185°
W 31.871338°		 ← 49.79 m →
2 480 m²		 N 80.616185°
W 31.868592°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411472320556641 y=0.102085113525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411472320556641 × 217)
    floor (0.411472320556641 × 131072)
    floor (53932.5)     		tx = 53932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102085113525391 × 217)
    floor (0.102085113525391 × 131072)
    floor (13380.5)     		ty = 13380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53932 / 13380 ti = "17/53932/13380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53932/13380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53932 ÷ 217
    53932 ÷ 131072     		x = 0.411468505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13380 ÷ 217
    13380 ÷ 131072     		y = 0.102081298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411468505859375 × 2 - 1) × π
    -0.17706298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55625978
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102081298828125 × 2 - 1) × π
    0.79583740234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.50019693658365
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55625978} λ = -0.55625978}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50019693658365))-π/2
    2×atan(12.184893375703)-π/2
    2×1.4889110036513-π/2
    2.9778220073026-1.57079632675     		φ = 1.40702568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55625978} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.871338°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40702568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.616633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53932 KachelY 13380 -0.55625978 1.40702568 -31.871338 80.616633
    Oben rechts KachelX + 1 53933 KachelY 13380 -0.55621185 1.40702568 -31.868592 80.616633
    Unten links KachelX 53932 KachelY + 1 13381 -0.55625978 1.40701786 -31.871338 80.616185
    Unten rechts KachelX + 1 53933 KachelY + 1 13381 -0.55621185 1.40701786 -31.868592 80.616185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40702568-1.40701786) × R
    7.81999999999172e-06 × 6371000     		dl = 49.8212199999473m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40702568-1.40701786) × R
    7.81999999999172e-06 × 6371000     		dr = 49.8212199999473m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55625978--0.55621185) × cos(1.40702568) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.163039550611191 × 6371000     		do = 49.7860881449514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55625978--0.55621185) × cos(1.40701786) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.163047265970962 × 6371000     		du = 49.7884441228732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40702568)-sin(1.40701786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163039550611191-0.163047265970962)×R²
    abs(-0.55621185--0.55625978)×7.71535977092674e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.71535977092674e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.71535977092674e-06×40589641000000     		ar = 2480.46233938978m²