Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53931 / 21041
↖ ↑ ↗
← N 54.004540°
E116.251831°		 ← 359.01 m → N 54.004540°
E116.257324°		 →
↑
359.01 m
↓
↑
359.01 m
↓
N 54.001312°
E116.251831°		 ← 359.04 m →
128 892 m²		 N 54.001312°
E116.257324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21041 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822929382324219 y=0.321067810058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822929382324219 × 216)
    floor (0.822929382324219 × 65536)
    floor (53931.5)     		tx = 53931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.321067810058594 × 216)
    floor (0.321067810058594 × 65536)
    floor (21041.5)     		ty = 21041
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53931 / 21041 ti = "16/53931/21041"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53931/21041.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53931 ÷ 216
    53931 ÷ 65536     		x = 0.822921752929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21041 ÷ 216
    21041 ÷ 65536     		y = 0.321060180664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822921752929688 × 2 - 1) × π
    0.645843505859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.02897721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.321060180664062 × 2 - 1) × π
    0.357879638671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.1243120436888
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02897721} λ = 2.02897721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1243120436888))-π/2
    2×atan(3.07809852303832)-π/2
    2×1.25667668422716-π/2
    2.51335336845432-1.57079632675     		φ = 0.94255704
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02897721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.251831°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94255704 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.004540°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53931 KachelY 21041 2.02897721 0.94255704 116.251831 54.004540
    Oben rechts KachelX + 1 53932 KachelY 21041 2.02907309 0.94255704 116.257324 54.004540
    Unten links KachelX 53931 KachelY + 1 21042 2.02897721 0.94250069 116.251831 54.001312
    Unten rechts KachelX + 1 53932 KachelY + 1 21042 2.02907309 0.94250069 116.257324 54.001312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94255704-0.94250069) × R
    5.63499999999273e-05 × 6371000     		dl = 359.005849999537m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94255704-0.94250069) × R
    5.63499999999273e-05 × 6371000     		dr = 359.005849999537m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02897721-2.02907309) × cos(0.94255704) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.587721140766554 × 6371000     		do = 359.010328664303m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02897721-2.02907309) × cos(0.94250069) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.587766730565611 × 6371000     		du = 359.038177260529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94255704)-sin(0.94250069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.587721140766554-0.587766730565611)×R²
    abs(2.02907309-2.02897721)×4.55897990568888e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.55897990568888e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.55897990568888e-05×40589641000000     		ar = 128891.807139468m²