Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53930 / 20860
↖ ↑ ↗
← N 54.584796°
E116.246338°		 ← 353.95 m → N 54.584796°
E116.251831°		 →
↑
353.97 m
↓
↑
353.97 m
↓
N 54.581613°
E116.246338°		 ← 353.98 m →
125 294 m²		 N 54.581613°
E116.251831°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20860 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822914123535156 y=0.318305969238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822914123535156 × 216)
    floor (0.822914123535156 × 65536)
    floor (53930.5)     		tx = 53930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318305969238281 × 216)
    floor (0.318305969238281 × 65536)
    floor (20860.5)     		ty = 20860
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53930 / 20860 ti = "16/53930/20860"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53930/20860.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53930 ÷ 216
    53930 ÷ 65536     		x = 0.822906494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20860 ÷ 216
    20860 ÷ 65536     		y = 0.31829833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822906494140625 × 2 - 1) × π
    0.64581298828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.02888134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31829833984375 × 2 - 1) × π
    0.3634033203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.14166520135126
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02888134} λ = 2.02888134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14166520135126))-π/2
    2×atan(3.13197940160123)-π/2
    2×1.26174037574253-π/2
    2.52348075148506-1.57079632675     		φ = 0.95268442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02888134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.246338°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95268442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.584796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53930 KachelY 20860 2.02888134 0.95268442 116.246338 54.584796
    Oben rechts KachelX + 1 53931 KachelY 20860 2.02897721 0.95268442 116.251831 54.584796
    Unten links KachelX 53930 KachelY + 1 20861 2.02888134 0.95262886 116.246338 54.581613
    Unten rechts KachelX + 1 53931 KachelY + 1 20861 2.02897721 0.95262886 116.251831 54.581613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95268442-0.95262886) × R
    5.55599999999545e-05 × 6371000     		dl = 353.97275999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95268442-0.95262886) × R
    5.55599999999545e-05 × 6371000     		dr = 353.97275999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02888134-2.02897721) × cos(0.95268442) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.579497447401879 × 6371000     		do = 353.949953619278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02888134-2.02897721) × cos(0.95262886) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.579542726465858 × 6371000     		du = 353.977609517794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95268442)-sin(0.95262886))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579497447401879-0.579542726465858)×R²
    abs(2.02897721-2.02888134)×4.52790639795531e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.52790639795531e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.52790639795531e-05×40589641000000     		ar = 125293.536733875m²