Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53930 / 10922
↖ ↑ ↗
← N 81.655700°
W 31.876831°		 ← 44.32 m → N 81.655700°
W 31.874084°		 →
↑
44.28 m
↓
↑
44.28 m
↓
N 81.655302°
W 31.876831°		 ← 44.33 m →
1 963 m²		 N 81.655302°
W 31.874084°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411457061767578 y=0.0833320617675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411457061767578 × 217)
    floor (0.411457061767578 × 131072)
    floor (53930.5)     		tx = 53930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0833320617675781 × 217)
    floor (0.0833320617675781 × 131072)
    floor (10922.5)     		ty = 10922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53930 / 10922 ti = "17/53930/10922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53930/10922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53930 ÷ 217
    53930 ÷ 131072     		x = 0.411453247070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10922 ÷ 217
    10922 ÷ 131072     		y = 0.0833282470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411453247070312 × 2 - 1) × π
    -0.177093505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55635566
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0833282470703125 × 2 - 1) × π
    0.833343505859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.61802583584975
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55635566} λ = -0.55635566}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61802583584975))-π/2
    2×atan(13.7086337606767)-π/2
    2×1.49797857432643-π/2
    2.99595714865285-1.57079632675     		φ = 1.42516082
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55635566} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.876831°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42516082 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.655700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53930 KachelY 10922 -0.55635566 1.42516082 -31.876831 81.655700
    Oben rechts KachelX + 1 53931 KachelY 10922 -0.55630772 1.42516082 -31.874084 81.655700
    Unten links KachelX 53930 KachelY + 1 10923 -0.55635566 1.42515387 -31.876831 81.655302
    Unten rechts KachelX + 1 53931 KachelY + 1 10923 -0.55630772 1.42515387 -31.874084 81.655302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42516082-1.42515387) × R
    6.9500000001721e-06 × 6371000     		dl = 44.2784500010964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42516082-1.42515387) × R
    6.9500000001721e-06 × 6371000     		dr = 44.2784500010964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55635566--0.55630772) × cos(1.42516082) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.145121238216973 × 6371000     		do = 44.3237615722089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55635566--0.55630772) × cos(1.42515387) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.145128114639935 × 6371000     		du = 44.3258618087807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42516082)-sin(1.42515387))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145121238216973-0.145128114639935)×R²
    abs(-0.55630772--0.55635566)×6.87642296223756e-06×R²
    4.79400000000796e-05×6.87642296223756e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×6.87642296223756e-06×40589641000000     		ar = 1962.6339582558m²