Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5393 / 2771
↖ ↑ ↗
← N 81.590880°
W120.750732°		 ← 178.64 m → N 81.590880°
W120.739746°		 →
↑
178.64 m
↓
↑
178.64 m
↓
N 81.589274°
W120.750732°		 ← 178.68 m →
31 916 m²		 N 81.589274°
W120.739746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5393 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.164596557617188 y=0.0845794677734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.164596557617188 × 215)
    floor (0.164596557617188 × 32768)
    floor (5393.5)     		tx = 5393
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0845794677734375 × 215)
    floor (0.0845794677734375 × 32768)
    floor (2771.5)     		ty = 2771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5393 / 2771 ti = "15/5393/2771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5393/2771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5393 ÷ 215
    5393 ÷ 32768     		x = 0.164581298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2771 ÷ 215
    2771 ÷ 32768     		y = 0.084564208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.164581298828125 × 2 - 1) × π
    -0.67083740234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.10749785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.084564208984375 × 2 - 1) × π
    0.83087158203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.6102600581113
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10749785} λ = -2.10749785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.6102600581113))-π/2
    2×atan(13.6025878552042)-π/2
    2×1.49741291445275-π/2
    2.99482582890551-1.57079632675     		φ = 1.42402950
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10749785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.750732°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42402950 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.590880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5393 KachelY 2771 -2.10749785 1.42402950 -120.750732 81.590880
    Oben rechts KachelX + 1 5394 KachelY 2771 -2.10730611 1.42402950 -120.739746 81.590880
    Unten links KachelX 5393 KachelY + 1 2772 -2.10749785 1.42400146 -120.750732 81.589274
    Unten rechts KachelX + 1 5394 KachelY + 1 2772 -2.10730611 1.42400146 -120.739746 81.589274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42402950-1.42400146) × R
    2.8040000000118e-05 × 6371000     		dl = 178.642840000752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42402950-1.42400146) × R
    2.8040000000118e-05 × 6371000     		dr = 178.642840000752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10749785--2.10730611) × cos(1.42402950) × R
    0.000191739999999996 × 0.14624048881985 × 6371000     		do = 178.643804099969m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10749785--2.10730611) × cos(1.42400146) × R
    0.000191739999999996 × 0.146268227306236 × 6371000     		du = 178.677688756454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42402950)-sin(1.42400146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14624048881985-0.146268227306236)×R²
    abs(-2.10730611--2.10749785)×2.77384863856533e-05×R²
    0.000191739999999996×2.77384863856533e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.77384863856533e-05×40589641000000     		ar = 31916.4631407507m²