Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5393 / 2321
↖ ↑ ↗
← N 82.283857°
W120.750732°		 ← 164.02 m → N 82.283857°
W120.739746°		 →
↑
164.05 m
↓
↑
164.05 m
↓
N 82.282381°
W120.750732°		 ← 164.05 m →
26 910 m²		 N 82.282381°
W120.739746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5393 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.164596557617188 y=0.0708465576171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.164596557617188 × 215)
    floor (0.164596557617188 × 32768)
    floor (5393.5)     		tx = 5393
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0708465576171875 × 215)
    floor (0.0708465576171875 × 32768)
    floor (2321.5)     		ty = 2321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5393 / 2321 ti = "15/5393/2321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5393/2321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5393 ÷ 215
    5393 ÷ 32768     		x = 0.164581298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2321 ÷ 215
    2321 ÷ 32768     		y = 0.070831298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.164581298828125 × 2 - 1) × π
    -0.67083740234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.10749785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.070831298828125 × 2 - 1) × π
    0.85833740234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.6965464774274
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10749785} λ = -2.10749785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.6965464774274))-π/2
    2×atan(14.8284328673539)-π/2
    2×1.50346027244078-π/2
    3.00692054488155-1.57079632675     		φ = 1.43612422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10749785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.750732°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43612422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.283857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5393 KachelY 2321 -2.10749785 1.43612422 -120.750732 82.283857
    Oben rechts KachelX + 1 5394 KachelY 2321 -2.10730611 1.43612422 -120.739746 82.283857
    Unten links KachelX 5393 KachelY + 1 2322 -2.10749785 1.43609847 -120.750732 82.282381
    Unten rechts KachelX + 1 5394 KachelY + 1 2322 -2.10730611 1.43609847 -120.739746 82.282381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43612422-1.43609847) × R
    2.57500000000466e-05 × 6371000     		dl = 164.053250000297m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43612422-1.43609847) × R
    2.57500000000466e-05 × 6371000     		dr = 164.053250000297m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10749785--2.10730611) × cos(1.43612422) × R
    0.000191739999999996 × 0.134265393964572 × 6371000     		do = 164.015321135582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10749785--2.10730611) × cos(1.43609847) × R
    0.000191739999999996 × 0.134290910764343 × 6371000     		du = 164.04649183404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43612422)-sin(1.43609847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134265393964572-0.134290910764343)×R²
    abs(-2.10730611--2.10749785)×2.55167997705585e-05×R²
    0.000191739999999996×2.55167997705585e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.55167997705585e-05×40589641000000     		ar = 26909.8033109579m²