Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53929 / 23151
↖ ↑ ↗
← N 46.623034°
E116.240845°		 ← 419.49 m → N 46.623034°
E116.246338°		 →
↑
419.53 m
↓
↑
419.53 m
↓
N 46.619261°
E116.240845°		 ← 419.52 m →
175 993 m²		 N 46.619261°
E116.246338°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53929 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.822898864746094 y=0.353263854980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.822898864746094 × 216)
    floor (0.822898864746094 × 65536)
    floor (53929.5)     		tx = 53929
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353263854980469 × 216)
    floor (0.353263854980469 × 65536)
    floor (23151.5)     		ty = 23151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53929 / 23151 ti = "16/53929/23151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53929/23151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53929 ÷ 216
    53929 ÷ 65536     		x = 0.822891235351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23151 ÷ 216
    23151 ÷ 65536     		y = 0.353256225585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822891235351562 × 2 - 1) × π
    0.645782470703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.02878547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.353256225585938 × 2 - 1) × π
    0.293487548828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.92201832729216
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02878547} λ = 2.02878547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.92201832729216))-π/2
    2×atan(2.51436007363374)-π/2
    2×1.19226088733973-π/2
    2.38452177467945-1.57079632675     		φ = 0.81372545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02878547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.240845°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81372545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.623034°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53929 KachelY 23151 2.02878547 0.81372545 116.240845 46.623034
    Oben rechts KachelX + 1 53930 KachelY 23151 2.02888134 0.81372545 116.246338 46.623034
    Unten links KachelX 53929 KachelY + 1 23152 2.02878547 0.81365960 116.240845 46.619261
    Unten rechts KachelX + 1 53930 KachelY + 1 23152 2.02888134 0.81365960 116.246338 46.619261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81372545-0.81365960) × R
    6.58499999999229e-05 × 6371000     		dl = 419.530349999509m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81372545-0.81365960) × R
    6.58499999999229e-05 × 6371000     		dr = 419.530349999509m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02878547-2.02888134) × cos(0.81372545) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.686795358778429 × 6371000     		do = 419.486205634617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02878547-2.02888134) × cos(0.81365960) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.686843220416776 × 6371000     		du = 419.515438937972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81372545)-sin(0.81365960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.686795358778429-0.686843220416776)×R²
    abs(2.02888134-2.02878547)×4.78616383479125e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78616383479125e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78616383479125e-05×40589641000000     		ar = 175993.326862678m²